祖暅原理

祖暅原理

祖暅原理也稱祖氏原理,一個涉及幾何求積的著名命題。公元656年,唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的開立圓術。祖暅在求球體積時,使用一個原理:“冪勢既同,則積不容異”。“冪”是截面積,“勢”是立體的高。意思是兩個同高的立體,如在等高處的截面積相等,則體積相等。更詳細點說就是,界於兩個平行平面之間的兩個立體,被任一平行於這兩個平面的平面所截,如果兩個截面的面積相等,則這兩個立體的體積相等。上述原理在中國被稱為祖暅原理, 國外則一般稱之為卡瓦列利原理。

定理定義

祖暅原理,又名等冪等積定理,內容是:夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,被平行於這兩個平行平面的任何平面所截,如果截得兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等。祖暅之《綴術》有云:“緣冪勢既同,則積不容異。

發展簡史

兩垛歐元2分硬幣具有相同體積 兩垛歐元2分硬幣具有相同體積

等積原理的發現起源於《九章算術》中的答案是錯誤的。他提出的難方法是取每邊為1寸的正方體棋子八枚,拼成一個邊長為2寸的正方體,在正方體內畫內切圓柱體,再在橫向畫一個同樣的內切圓柱體。這樣兩個圓柱所包含的立體共同部分像兩把上下對稱的傘,劉徽將其取名為“牟合方蓋”。(古時人稱傘為“蓋”,“牟”同侔,意即相合。)根據計算得出球體積是牟合方蓋體的體積的四分之三,可是圓柱體又比牟合方蓋大,但是《九章算術》中得出球的體積是圓柱體體積的四分之三,顯然《九章算術》中的球體積計算公式是錯誤的。劉徽認為只要求出牟合方蓋的體積,就可以求出球的體積。可怎么也找不出求導牟合方蓋體積的途徑。

祖暅沿用了劉徽的思想,利用劉徽“牟合方蓋”的理論去進行體積計算,得出“冪勢既同,則積不容異”的結論。“勢”即是高,“冪”是面積。

在西方,球體的體積計算方法雖然早已由希臘數學家阿基米德發現,但“祖暅原理”是在獨立研究的基礎上得出的,且比阿基米德的內容要豐富,涉及的問題要複雜。二者有異曲同工之妙。根據這一原理就可以求出牟合方蓋的體積,然後再導出球的體積。

這一原理主要套用於計算一些複雜幾何體的體積上面。在西方,直到17世紀,才由義大利數學家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)發現。於1635年出版的《連續不可分幾何》中,提出了等積原理,所以西方人把它稱之為“卡瓦列里原理”。其實,他的發現要比我國的祖暅晚1100多年。

半球體積的計算

由祖暅原理,半球與一個擁有與半球體相同橫切面積和高的立體,即圓柱體中間切去一個圓錐體體積相同。

祖暅原理 祖暅原理

容易得體積為V=

定理意義

我們都知道“點動成線,線動成面,面動成體”這句話,直線由點構成,點的多少表示直線的長短;面由線構成,也就是由點構成,點的多少表示面積的大小;幾何體由面構成,就是由線構成,最終也就是由點構成,點的多少也表示了體積的大小,要想讓兩個幾何體的體積相等,也就是讓構成這兩個幾何體的點的數量相同,祖暅原理就運用到了它。

兩個幾何體夾在兩平行平面中間,可以理解為這兩個幾何體平行面間的的高度相等。兩平行面之間的距離一定,若視距離為一條線段,那么這個距離上就有無數個點,過一個點,可以畫出一個平行於兩平行面的截面,若兩幾何體在被過每一點的平行截面截出的截面面積兩兩相等,則說明兩幾何體在同一高度下的每兩個截面上的點的數量相同。有無數個截面,同一高度每兩個幾何體的截面上的點的數量相同,則說明,這兩個幾何體所擁有的點數量相同,那么也就是說,它們的體積相同。所以我們可以用這種思想來理解祖暅原理。

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