定義
波前集
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波前集
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波前集 波前集
波前集在歐式空間的一個區域中，一個分布在一個點處的奇異纖維，作為的一個子集， 是在這一點所有奇異方向的余集。嚴格的定義用到傅立葉變換，不屬於若且唯若存在緊支集光滑函式以及的一個錐鄰域（在正實數乘法下不變）使得，並且在中有如下估計：對於任意正整數N ，存在正常數使得：
波前集
波前集（我們經常將這個估計寫為。）
波前集
波前集f的波前集定義為：
波前集
波前集由下面波前集在坐標變化下的性質，可以定義光滑流形X 上的分布 f的波前集為餘切叢去掉零截面的一個錐子集。
波前集
波前集如果有Schwarz核，定義為：
波前集
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波前集對於擬微分運算元， 可以驗證包含於的對角線中。並且如果我們定義 如下：若且唯若在的一個錐鄰域中，A的象徵滿足估計。
波前集
波前集那么我們有若且唯若。
等價定義
波前集
波前集 波前集 波前集 波前集
波前集
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波前集Hormander最早的定義用到了擬微分運算元在分布上的作用：是所有滿足如下性質的點在中的補集： 存在的錐鄰域 使得對於任意的滿足的擬微分運算元， 有。
另一個有用的等價定義用到FBI變換。
性質
波前集
波前集（1） 如果記為餘切叢上自然投影，則。
波前集
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波前集（2） 對於擬微分運算元，。特別的，我們有對於任意的光滑係數微分運算元，。
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波前集（3） 如果是一個光滑映射，記為f 的法叢。如果滿足，那么我們可以“唯一的”定義u在f 下的拉回。並且我們有。 特別的，如果f是一個微分同胚，。所以波前集定義在餘切叢上是不取決於坐標的。
波前集
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波前集
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波前集（4）令如果將視作從到的一個關係，並且記。這裡和分別是X和Y上餘切叢的零截面。則如果滿足，那么我們可以“唯一的”定義。並且我們有。
波前集
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波前集（5）如果和滿足，那么我們可以“唯一的”定義複合運算元。並且我們有：。
這裡最後一項是將波前集視為關係下的複合。
套用及推廣
波前集波前集可用於函式、振盪積分、余法分布、拉格朗日分布、分布的運算、擬微分運算元與微局部化以及奇異性的傳播。
波前集
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波前集以上所定義的波前集描述的是分布的關於正則性的奇異性，類似的可以定義關於實解析性的波前集，關於Gevery類的波前集，關於Sobolev空間的波前集等等。在使用FBI變換的定義中，這些波前集有一個很好的統一的描述。
