正割函式

正割指的是直角三角形，斜邊與某個銳角的鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用 sec（角）表示。正割是餘弦函式的倒數。

符號

正割的數學符號為sec，出自英文secant。該符號最早由數學家吉拉德在他的著作《三角學》中所用。

定義

正割函式

正割函式

正割是三角函式的正函式（正弦、正切、 正割、正矢）之一，所以在 到 的區間之間，函式是遞增的，另外 正割函式和餘弦函式互為倒數。

在單位圓上，正割函式位於割線上，因此將此函式命名為正割函式。

和其他三角函式一樣，正割函式一樣可以擴展到複數。

直角三角形中

圖1.直角三角形

在直角三角形中，一個銳角∠A的 正割定義為它的斜邊與鄰邊的比值，也就是：

正割函式

直角坐標系中

正割函式

正割函式

設α是平面直角坐標系xOy中的一個象限角， 是角的終邊上一點， 是P到原點O的距離，則α的正割定義為：

正割函式

單位圓定義

圖2.單位圓

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x軸正半部分得到一個角θ，並與單位圓相交。這個交點的 y坐標等於sinθ。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度1，所以有了secθ=1/ x。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於2π或小於−2π的角度，簡單的繼續繞單位圓鏇轉。在這種方式下，正割變成了周期為2π的周期函式：

正割函式

對於任何角度θ和任何整數 k。

與其他函式定義

正割函式和餘弦函式互為倒數

即：

正割函式

級數定義

正割也能使用泰勒級數來定義：

正割函式

微分方程定義

sec的微分是sec和tan的乘積：

正割函式

sec的導數如下：

正割函式

正割函式

正割函式

正割函式

另外：

正割函式

所以微分方程定義為：

正割函式

指數定義

正割函式

恆等式

和差角公式

正割函式

正割積分

巴洛在1670年提出正割的積分：

正割函式

正割定理

有一些含有正割的恆等式，滿足任意三角形ABC：

正割函式

正割函式

正割函式

這些實際上是射影定理的倒數。

性質

正割曲線

圖3.正割函式圖像（值域：(-∞,-1]∪[1,+∞)）

在y=secx中，以x的任一使secx有意義的值與它對應的y值作為(x，y)．在直角坐標系中作出的圖形叫正割函式的圖像，也叫正割曲線。

函式性質

正割函式

(1)定義域，x不能取90度，270度，-90度，-270度等值；即為{x |x≠kπ+，k∈Z}。

正割函式

(2)值域，secx≥1或secx≤－1，即為。

(3) y=secx是偶函式，即sec(－θ)=secθ．圖像對稱於y軸。

(4) y=secx是周期函式，周期為2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π。

正割函式

正割函式

正割函式

(5) 單調性：(2kπ- ，2kπ]，[2kπ+π，2kπ+ ），k∈Z上遞減；在區間[2kπ，2kπ+ )，(2kπ+π/2，2kπ+π]，k∈Z上遞增。