權方和不等式

權方和不等式

權方和不等式是一個數學中重要的不等式。其證明需要用到赫爾德(Holder)不等式,可用於放縮求最值(極值)、證明不等式等。

基本信息

簡介

權方和不等式

是一個數學中重要的不等式。

權方和不等式 權方和不等式

形式

對於xi,yi>0,當m(m+1)>0時:

(x+x+x+………+x+……+x) /(y+y+y+…………+y+……+y) {[x /y ]+[x /y ]+[x /y ]+…………+[x /y ]+……+[x /y ]}.

m(m+1)=0時:

(x+x+x+………+x+……+x) /(y+y+y+…………+y+……+y) ={[x /y ]+[x /y ]+[x /y ]+…………+[x /y ]+……+[x /y ]}.

m(m+1)<0時:

(x+x+x+………+x+……+x) /(y+y+y+…………+y+……+y) {[x /y ]+[x /y ]+[x /y ]+…………+[x /y ]+……+[x /y ]}.

其中n是正整數。

取等號的條件:x/y=x/y=x/y=…………=x/y=……=x/y.

證明

其證明需要用到 赫爾德(Holder)不等式.

赫爾德不等式

(特殊情形)

對於實數p和q,若p≥1,q<+∞,且1/p+1/q=1.

則對於所有實數或複數a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn

恆有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+……+|aibi|+……+|anbn|≤

[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*

[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]

若且唯若a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時,等號成立。

第一式證明

:因為m(m+1)>0,所以m>0或m<-1.

設ai=xi/yi^[m/(m+1)] bi=yi^[m/(m+1)]

p=m+1 q=(m+1)/m

m>0時,p>1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.

所以對於ai、bi>0,恆有:

|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+………+|aibi|+…+|anbn|≤

[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……..……+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*

[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+……....……+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]

也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+

[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^[1/(m+1)]

*{(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^[m/(m+1)]}

不等式兩邊同時取(m+1)次冪,得到:

(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+

[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}*

(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m

不等式兩邊同除(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m,就得到

(x1+x2+x3+……+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.得證.

另設ai=yi/xi^[(m+1)/m],bi=xi^[(m+1)/m]

p=-m q=m/(m+1)

當m1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.

所以對於ai、bi>0,恆有:

|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤

[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*

[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)].

也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^[(m+1)/m]

*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1/m).

不等式兩邊同時做m次冪,此時不等號方向改變:

(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)

*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1)

不等式兩邊取倒數(不等號方向改變)再同乘(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1),即得:

(x1+x2+x3+………+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.

第一式得證。

第二式證明

m就-1和0兩種取值。

m=0時,原式簡化為x1+x2+x3+…………+xi+……+xn=x1+x2+x3+…………+xi+……+xn顯然成立;

m=-1時,原式簡化為y1+y2+y3+…………+yi+……+yn=y1+y2+y3+…………+yi+……yn顯然成立.

第二式得證。

第三式證明

設ai=yi^(-m),bi=xi^(m+1).

p=-1/m,q=1/(m+1).

當m(m+1)m>-1.

此時p>1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.

也就是[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]≤[(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)]/[(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m].

第三式得證。

證畢.

取等號的條件

赫爾德不等式取等號的條件是:

若且唯若a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時等號成立。

所以第一式中,取等號的條件分別是:

m>0時候:

x1^(m+1)/y1^(m+1)=x2^(m+1)/y2^(m+1)=x3^(m+1)/y3^(m+1)=…………=

xi^(m+1)/yi^(m+1)=……=xn^(m+1)/yn^(m+1).

m<-1時候:

x1^m/y1^m=x2^m/y2^m=x3^m/y3^m=…………=xi^m/yi^m=……=xn^m/yn^m.

第三式中,取等號的條件是:

0>m>-1時候:

y1/x1=y2/x2=y3/x3=…………=yi/xi=……=yn/xn.

由於xi、yi都是正數(也正因為這樣,利用赫爾德不等式證明權方和不等式時才能把絕對值符號去掉),所以可以分別通過開(m+1)、m、-1次方簡化為:

x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn時等號成立。

其他信息

進一步說明

權方和不等式是在高中競賽中很有用的一個不等式,常用來處理分式不等式。

它和赫爾德不等式的這個特殊情形是等價關係。

其中m稱為不等式的權,特點是分子次數比分母高一次。

套用

可用於處理分式不等式、放縮求最值(極值)、證明不等式等方面,對高中數學競賽有幫助。

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