柯西極限存在準則:柯西極限存在準則又叫柯西收斂原理，給出了收斂的充分必要 -百科知識中文網

套用方面

柯西極限存在準則，又稱柯西收斂準則，是用來判斷某個式子是否收斂的充要條件（不限於數列），主要套用在以下方面：

（1）數列

（2）數項級數

（3）函式

（4）反常積分
（5）函式列和函式項級數

每個方面都對應一個柯西準則，因此下文將按照不同的方面對準則進行說明。

數列

數列的柯西收斂準則

數列收斂的充分必要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>N，n > N時，且m≠n，有

我們把滿足該條件的{x}稱為柯西序列，那么上述定理可表述成：數列{x}收斂，若且唯若它是一個柯西序列。

該準則的幾何意義表示，數列{x}收斂的充分必要條件是：該數列中的元素隨著序數的增加而愈發靠近，即足夠靠後的任意兩項都無限接近。

證明

必要性

設，則，當m,n>N時，有

那么，

充分性

由於數列的柯西收斂準則是實數連續性的體現之一，所以用實數公理——戴德金定理證明{x}收斂。

首先證明柯西序列是有界的。根據柯西序列的定義，對任意ε>0，存在正整數N，當m,n>N時，有|x-x|<ε。

於是取m=N+1，則當n>N時，|x-x|<ε。

解得x-ε<x<x+ε，即當n>N時，{x}既有上界又有下界，所以是有界的。

向上述數列中添加{x}的前N項得到{x}本身，則由於前N項都是確定的實數，不會改變{x}的有界性（即使此時{x}的上、下界發生變化）。故對任意正整數n，{x}都是有界的。

其次證明柯西序列收斂。設{x}⊆[a,b]，有一個實數集A，A中的任一元素c滿足：區間(-∞,c)中最多有{x}中的有限項（注意用詞“最多”，意味著可以有0項），而{x}中的無限項都落在[c,+∞)。並把A在R中的補集設為B，則：

①由取法可知a∈A，並且顯然b∈B。即A和B都是非空數集。

②A∪B=R。

③根據集合A、B的定義，A中任意元素都小於B中的任意元素。

由戴德金定理得，存在唯一實數η，使η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。

∵η是A和B的分界點

∴

④由A的定義可知，。

根據已知條件，當m,n>N時，|x-x|<ε

於是x-ε<x<x+ε。聯立④中的不等式，可得到η-2ε<x<η+2ε。

也就是當n>N時，不等式|x-η|<2ε成立

∴

套用

作為柯西收斂準則的套用之一，我們可以用來證明實數的確界原理。

確界原理：非空有上（下）界數集，必有上（下）確界。

證明：先證非空有上界數集必有上確界。

設S是一個非空有上界的數集，且b是其一個上界。則由S的非空性及實數的有序性可知，必定存在一個實數a，使得a小於S中的某個元素，即a不是S的上界。

把閉區間[a,b]二等分，考慮閉區間中點，如果是S的上界，則令；否則令。

重複此步驟，即如果某個閉區間中點是S的上界，則令，否則令。這樣一來得到了一系列閉區間，滿足

①a≤a<b≤b

②

並且由閉區間的構造方式可知，對任意自然數n，a都不是S的上界，而b都是S的上界。

下證{a}、{b}收斂。

由極限的定義，根據②可知，，使得當n>N時，|b-a|<ε。

並且對任意正整數n和p，根據①可知，a≤a<b≤b。

於是當n>N時，0≤|a-a|<|b-a|<ε。

令n+p=m，即可得到{a}是一個柯西序列，由柯西收斂準則知{a}收斂。

設，由②得。

下證r是S的上確界。

∵b是S的上界

∴對S中的任一元素x，都有x≤b

由極限的保序性逆定理可知x≤r，即r是S的上界。

又取任意r’<r，由及極限保序性可知，存在正整數N，當n>N時，就有a>r'。

∵a不是S的上界

∴r‘不是S的上界

即比r小的數不再是S的上界。根據上確界的定義，r是S的上確界，即非空有上界的數集必有上確界。

其次，再來證明非空有下界數集必有下確界。

設B是一個非空有下界的數集，A是B的所有下界組成的數集。

根據下界的定義，，都有a≤b。換句話說，B中的所有元素都是A的上界，A是一個非空有上界數集。由於已證得非空有上界數集必有上確界，所以A有上確界，記該上確界為r。

下證r也是B的下確界。

顯然r∈A，這是因為如果r∉A，那么r一定是B中的最小值（根據上確界的定義），即對任意B中的元素b，都有r≤b。根據下界的定義，r也是B的一個下界，這樣一來r∈A，與假設矛盾。

又取任意r''>r，所以r''∉A，即比r大的數不再是B的下界。根據下確界的定義，r是B的下確界，即非空有下界數集必有下確界。

數項級數

數項級數的柯西收斂準則

數項級數收斂的充要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>n>N時，有

證明

設數項級數的部分和為S，根據級數收斂的定義，收斂若且唯若收斂。

顯然，對於確定的n來說，S都有唯一一個確定的數值，這樣一來{S}就是一個數列。故考慮用數列的柯西收斂準則來證明。

∵

∴由數列的柯西收斂準則可知，數項級數的柯西收斂準則也成立。

函式

考慮到數列是特殊的函式（即定義域為正整數集），可以猜想，函式的斂散性也應當有類似的結論，這就是接下來要說的函式的柯西收斂準則。

函式的柯西收斂準則

（1）x→x時的準則

收斂的充要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當0<|x-x|<δ，0<|x-x|<δ時，有

（2）x→∞時的準則

收斂的充要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正數X，使得當|x|>X，|x|>X時，有

x、x是f(x)的定義區間上任意兩個實數。

以上準則針對單側極限依然有效。

該準則的充要條件又稱為（函式的）柯西條件，換句話說，函式收斂若且唯若函式滿足柯西條件。

證明

必要性

（1）x→x 時的準則

設，則，當0<|x-x|<δ，0<|x-x|<δ 時，有

那么，

（2）x→∞ 時的準則

設，則，當|x|>X，|x|>X 時，有

那么，

充分性

由於函式極限和數列極限可以通過歸結原則聯繫起來，所以要證明函式收斂，可以轉化為證明數列收斂。而數列收斂的柯西準則上面已經證明了，所以把已知條件轉化為求數列極限是證明的重心。

歸結原則（或稱海涅定理）：設f(x)在x的某個去心鄰域（或|x|大於某個正數時）有定義，那么（或）的充要條件是，對在x的某個去心鄰域內的任意收斂於x並且滿足x≠x的數列{x}（或絕對值大於某個正數的任意發散到無窮大的數列{x}），都有數列{f(x)}收斂到A，即

這個原則在這裡不證明，只需要注意的是定理中的“任意”二字。另外，如果函式極限是單側極限，則相應的任意數列都是單調數列（右極限對應任意單調遞減數列，左極限對應任意單調遞增數列）。

（1）x→x 時的準則

設{x}是x的某個去心鄰域內的任意收斂到x並且x≠x的數列，由數列極限的定義，（注意這裡的δ就是柯西條件的δ），當m,n>N時，有

而由0<|x-x|<δ，0<|x-x|<δ 可知，

換句話說，當m,n>N時，有

這也就是數列的柯西收斂準則，由柯西收斂準則可知數列{f(x)}收斂。又因為{x}的任意性，得到任意{x}的極限都相等。於是根據歸結原則，f(x)收斂。

（2）x→∞ 時的準則

設{x}是絕對值大於某個正數的任意發散到無窮大的數列，由數列發散到無窮大的定義，（注意這裡的X就是柯西條件的X），當m,n>N時，有

而由|x|>X，|x|>X 可知，

換句話說，當m,n>N時，有

這也就是數列的柯西收斂準則，由柯西收斂準則可知數列{f(x)}收斂。又因為{x}的任意性，得到任意{x}的極限都相等。於是根據歸結原則，f(x)收斂。

反常積分

反常積分分為兩種，一種是積分區間含有無窮大的反常積分（又叫做無窮限的反常積分），另一種是被積函式為無界函式的反常積分（又叫做無界函式的反常積分、瑕積分）。因此相應的柯西收斂準則有兩種，兩種準則的描述有些區別，但都可以根據函式的柯西收斂準則來證明。

反常積分的柯西收斂準則

（1）無窮限的反常積分

無窮限的反常積分收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數X，使得當q>p>X時，有

無窮限的反常積分收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數X，使得當p<q<-X時，有

前提是閉區間[p,q]⊂[a,+∞)（或(-∞,a]）。

（2）瑕積分

瑕積分收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當a<p<q<a+δ時，有

其中x=a是f(x)的瑕點。

瑕積分收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當b-δ<p<q<b時，有

其中x=b是f(x)的瑕點。

前提是閉區間[p,q]⊂(a,b]（或[a,b)）。

證明

（1）無窮限的反常積分

設。由無窮限反常積分收斂的定義可知，收斂，若且唯若收斂。

於是根據函式的柯西收斂準則，收斂的充要條件是，對於任意ε>0，總存在X>0，使得當p>X，q>X時，有

由定積分的性質可知，。

把上述過程綜合起來，就得到收斂的充要條件是：對於任意ε>0，總存在X>0，使得當p>X，q>X時，有

由此得證無窮限反常積分的柯西收斂準則。

同理可證。

（2）瑕積分

設。由瑕積分收斂的定義可知，收斂（x=a是瑕點），若且唯若收斂。

於是根據函式的柯西收斂準則，收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當0<p-a<δ，0<q-a<δ時，有

由定積分的性質可知，。

把上述過程綜合起來，就得到（x=a是瑕點）收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當0<p-a<δ，0<q-a<δ時，有

但是，0<p-a<δ，0<q-a<δ等價於a<p<a+δ，a<q<a+δ。令p<q，即得到a<p<q<a+δ，由此得證瑕積分的柯西收斂準則。

（x=b是瑕點）同理可證。

項級數

定義

所謂函式列指的是，具有相同定義域的一列函式f(x)，f(x)，f(x)，……所構成的集合{f(x)}，可以簡寫成{f}。

而函式項級數，則是由這無窮多個函式相加所構成的級數

關於函式列和函式項級數收斂的定義，又有如下幾種：

（1）函式列（函式項級數）在某一點收斂

設x為定義域上的某一點，那么f(x)是某個具體的常數，因此函式列{f(x)}（或函式項級數）就轉化為一個數列（或數項級數）。如果當n趨於無窮大時，這個數列（或數項級數）的極限存在，則稱函式列{f(x)}（或函式項級數）在x=x處收斂，而把x稱作函式列{f}（或函式項級數）的收斂點。

並把所有收斂點構成的集合稱為收斂域。顯然，收斂域是定義域的一個子集。

（2）極限函式與和函式

對於收斂域內任意一個數x，函式列（或函式項級數）成為一收斂的數列（或數項級數），因而有確定的函式值y（或和s）。通過這種對應關係，在收斂域上就定義了一個函式列的極限函式（或函式項級數的和函式），寫作f(x)（或s(x)），並有：

（或，s(x)是函式項級數前n項的部分和）

註：顯然函式項級數前n項的部分和s(x)所構成的集合{s(x)}同樣是一個函式列，並且s(x)=f(x)+f(x)+……+f(x)。

利用ε-N語言，可以精確地定義極限函式：

（3）函式列（函式項級數）的一致收斂

根據（2）中極限函式的定義，我們可以知道函式列{f}具有極限函式的充要條件是：對任意ε>0，總存在正整數N，使得當n>N時，有|f(x)-f(x)|<ε。通常這個N不僅與ε有關，也與自變數x有關，就算ε不變，當x發生改變時，N也會隨之改變。但是，如果某一函式列能找到這樣一個正整數N，它只與ε有關，而對定義域（或其某個子集）上的任意一點x這個N都適用。即對任何x∈D（D是函式列的定義域或其某個子集），只要n>N時，就有|f(x)-f(x)|<ε。對於函式列的這種性質我們給它一個專門的名詞，這就是下面要介紹的一致收斂。

設D是函式列{f}的定義域（或其某個子集），f是D上有定義的函式。如果對任意ε>0，總存在某一正整數N，使得當n>N時，對一切x∈D，都有|f(x)-f(x)|<ε，則稱函式列{f}在D上 一致收斂於f。