柯尼格引理

柯尼格引理（König's lemma）為圖論 中的一個定理。

命題

給定具有無窮個頂點但每個頂點的度有限的連通圖G，則對G的任意頂點都至少存在一條無窮的簡單路徑。

證明

對 G的任意頂點 v1，因 G連通，故 v1到 G的任意頂點都存在簡單路徑。由於 G存在無窮個頂點，故存在從 v1出發的一個無窮的簡單路徑集。考慮這個無窮簡單路徑集。因 v1的度有限，故該無窮集必然有一個無窮子集通過 v1的某個相鄰頂點 v2。同理，考察通過 v1、 v2的該無窮簡單路徑子集，因 v2的度有限，故這些無窮簡單路徑又存在一無窮子集通過 v2的某個相鄰頂點 v3，注意 v3≠ v1。以此類推，可得一無窮簡單路徑 v1 v2 v3...。

說明

•上述證明為非構造證明，只說明存在性，但沒有給出計算該路徑的算法（事實上，該算法不存在）。

•此結論經常作為一個特例套用於樹：給定具有無窮個節點，但每個節點的分叉有限的樹，則至少存在一條從根節點出發的無窮路徑。反之，如果一顆樹不存在無窮路徑，且沒有節點具有無窮分叉，則該樹的節點數有限。

•雖然每個節點的度有限，但由於有無窮個節點，整個圖的度可能沒有上限（例如可構造以所有自然數為頂點的圖，使得第i個節點的度為i）。