李特爾伍德－佩利理論

李特爾伍德－佩利理論是指關於lp(p>1)空間中傅立葉級數的理論,1931～1940年由J.E.李特爾伍德、R.E.A.C.佩利首創，後由A.贊格蒙、J.馬欽凱維奇等加以發展。

李特爾伍德－佩利理論

正文

關於lp(p>1)空間中傅立葉級數的理論,1931～1940年由J.E.李特爾伍德、R.E.A.C.佩利首創，後由A.贊格蒙、J.馬欽凱維奇等加以發展。它包括以下兩個方面。
① 引進兩個重要函式（或運算元）：

式中ƒ（z）=ƒ（reix）是單位圓｜z｜<1內的解析函式，ƒ┡(z)是ƒ(z)的導函式。主要結果是：設p>1,那么存在著僅與p有關的常數Ap,Bp，使

成立。式(1)和(2)的第一個不等式，還要加上ƒ(0)=0的條件。
② 三角級數的二進分塊。假設φ(x)為實值函式,並且φ(x)∈lp(0,2π)，又設φ(x)的傅立葉級數

。 (3)

把(3)分成如下的三角多項式塊：

叫做三角級數(3)的二進分塊。
從(1)可以得到以下的結論：存在常數Ap(p>1)，使

不等式(5)是研究lp空間中傅立葉級數的基本工具,它的作用相當於刻畫l2(0,2π)空間特徵性質的帕舍伐爾等式：設ƒ∈l2（0,2π），又設ƒ的傅立葉級數那么

(6)

反之，一個三角級數的係數滿足條件時，它就是l2(0,2π)空間中某函式的傅立葉級數。這就是說，三角級數係數的模的大小，能夠確定它是否屬於l2(0,2π)。對lp(0,2π)，p≠2，類似的問題,複雜得多了。下面是一個例子。
任取一個函式ƒ0(x)∈lp（0,2π） (1<p<2)，並設,假如那么可以證明,當隨機地取±號時，級數“基本上”(以機率1)都不是傅立葉級數。這說明，不可能期望以三角級數的係數的大小來刻畫lp(p≠2)空間中函式的特徵性質。李特爾伍德－佩利理論正是從這個目的出發去研究lp空間的。上述①中的g、g*函式,以及②中對三角級數的二進分塊，都是研究lp空間的重要工具。
李特爾伍德-佩利理論的建立,在很大程度上依靠了複變函數論中解析函式的許多重要性質。但是，多元複變函數論的情況很不一樣,影響了李特爾伍德-佩利理論在高維空間的推廣。1952年出現了考爾德倫－贊格蒙研究高維空間奇異積分的奠基性論文，其中採用的實變函式論方法,對研究高維空間很有成效。在他們影響下,E.M.施坦把李特爾伍德-佩利理論的g函式與Η.Η.盧津的面積函式s推廣到高維空間,並建立了相應的定理。1961年，斯坦又把g*函式推廣到高維空間，他是利用調和函式來建立的，這些函式已經成為高維空間中傅立葉分析的基本工具。
參考書目
　E.M.Stein,Singular Integrals and differentia-bility of Functions,Princeton Univ. Press, Princeton,1970.

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