有限單群分類問題概述
有限單群是指：除了單位元群和它本身以外沒有其他正規子群的有限群。有限單群類似於整數中的素數，可比喻為搭成有限群的“積木塊”，是有限群結構的基石。
找出所有的有限單群的問題稱為有限單群分類問題。
該問題的解決是代數學裡的一個巨大的工程。有關的文章大多發表於1955年至1983年之間，目的在於將所有的有限簡單群都給清楚地分類。這項工程總計約有100位作者在500篇期刊文章中寫下了上萬頁的文字。
有限單群分類定理的基本內容
全部的有限單群是：
(Ⅰ)素數階循環群;
(Ⅱ)n≥5的交錯群An;
(Ⅲ)Lie型單群(共16族);
(Ⅳ)26個散在單群。
此一定理在數學的許多分支都有著廣泛的套用，有關有限群的問題通常可以歸併至有關有限簡單群的問題上，再依此一分類即可將問題限於有限個例子的列舉。
有限單群分類的歷史
找出所有的有限單群的問題稱為有限單群分類
20世紀初,W.伯恩賽德關於pqъ階群(p、是素數)必是可解群的定理，是有限單群分類問題早期最重要的工作。它說明非交換有限單群的階至少有三個不同的素數。
有限單群分類定理是在20世紀40年代初提出的。R.Brauer是有限單群分類工作的先驅，三四十年代之交，他開始利用他所創造的模特徵標理論來研究有限單群問題，在這期間，段學復隨R.Brauer研究了階含素數p僅為一次的群及其模特徵標,1942年,他們一起完成了10000階以下的單群分類。1945年合寫了“論有限單群”的論文。他們的一些結果至今還被人引用，有的得到推廣。1954年R.Brauer又證明了關於對合的中心化子的定理，即設τ是偶階單群G的一個對合即二階元素，CG(τ)是其中心化子，則。於是，從已知偶階單群的對合的中心化子出發，最多構造出有限多個單群。可用這結果去發現和構造一些新單群，許多零散單群就是這樣發現的；更重要的是可以用中心化子來刻劃群的構造，用於單群分類。這一定理標誌了單群分類的新起點，而被稱之為Brauer綱領。
1962年，W.費特和湯普森關於奇階群必為可解群的定理（Feit-Thompson定理）是單群分類中最重要的一個定理，它標誌著有限單群分類的重大突破,也是第一篇長文章(225頁之多)。湯普森在文中初步建立並運用了p局部子群分析法,其後於1968～1974年間，他在關於極小單群（即所有真子群皆為可解群）及更一般的單N群（即所有p局部子群皆為可解群）的分類定理的證明中，完善了 p局部子群分析法。
1972年，D.戈朗斯坦提出的有限單群分類方案或計畫，指出了如何才能實現有限單群的完全分類。雖然這個計畫在後來作了某些修改，但是此後美、英、德、日等國的群論學家自發地組織起來按計畫去攻克這個大問題，終於以10年左右的時間取得了數學史上的這項重大的成果。
有限單群分類問題的解決對有關問題的影響非常深遠，有些長期存在的群論問題已經由於它的解決而解決或可以解決。例如，①O.施賴埃爾猜想有限單群的外自同構群是可解的。②有限單群皆可由兩個元素生成；有限非交換單群的元素皆為換位子。③除Sn和An外，不存在k≥6重傳遞置換群；所有雙重傳遞群已被決定；所有素數p次置換群已知。
下述有限單群問題正在被研究並取得進展：①整理和簡化有限單群分類問題的全部論證。②研究F1和模函式的關係，進而研究哪些單群能作為有理數域上的伽羅瓦群。③用分類的結果去解決群論以及其他的數學問題，這種套用正迅速增加。④進一步計算有限單群的常、模特徵標和子群等。
對證明仍有的懷疑
有限單群分類定理由500多篇論文組成。在該定理的最後證明中起重要作用的Aschbacher評論道：
“一方面，當證明長度增加時，錯誤的機率也增加了。在分類定理中出現錯誤的機率實際上是1。但是另一方面，任何單個錯誤不能被容易地改正的機率是0。隨著時間的推移，我們將會有機會推敲證明，對他的信任度必定會增加。”
因為發表出來的文章的長度及複雜度和實際上有些假設的證明還沒有被發表出來，有些人依然對這些文章能否對此定理提供一個完整且正確的證明有所懷疑。讓-皮埃爾·塞爾即為對其證明提出懷疑的人之中很有名的一位。這些懷疑被證實是證明中的空白，這些空間都在之後被找了出來且最終被填補了起來。
經過了一個年代的時間，專家們查覺到了一個“嚴重的空白”（由麥克·亞許巴赫所發現），在Geoff Mason（未發表地）對準薄群的分類上。葛侖斯坦（Gorenstein）在1983年宣稱已完成有限簡單群的分類，部份基於對準薄群方面的證明已完成的認知上。亞許巴赫在1990年代早期將此一空白填補起來。亞許巴赫和史蒂芬·史密斯發表了兩冊約有1300頁的不同證明。
二代分類
因為有限簡單群分類的證明真的實在是太長了，所有有許多被稱做“修正”的工作，原本由丹尼爾·葛侖斯坦所領導，在找尋著一個更簡單的證明。這即是所謂的二代分類證明。
直到2005年，已有六冊被發表了出來，其他還有許多的原稿存在。亞許巴赫和史密斯的兩冊提供了可以作用在一代和二代證明上有關準薄群方面的一個證明。預計當新的證明完成之後將會有大約5000頁的頁數。（需注意的是，較新的證明會以較豐富的形式寫出。）
葛侖斯坦和其同事給出了一些對於較簡單的證明是可能達成的理由。其中最重要的一點是因為現在已經知道了正確且最終的敘述，而所能套用的技術也已足夠用來研究這些群。相反地，在原本的證明里，沒有人知道到底有多少個散在群，且實際上有些散在群還是在試圖證明分類定理的過程中被發現出來的，如詹柯群，以致於套用了些過份一般的技術。
而且，也因為不知道結論是什麼，甚至有很長的一段時間是令人覺得不可信的，所以原本的證明中有含有許多個單獨的完整定理，分類了一些重要的特例。這些定理為了達成其自身的最終敘述，必須要去分析數個特例。通常，大多數的工作都是在做這些例外的事情。做為一個較大且協調的證明之一部份，這些許多特例都是可以不需要去理會的，當更強的假設被加上來時即可得到。因此而得到的收穫即為，原本的定理在修正後就不再會有那么較小的證明了，但還是會有一個完整的分類。
不再有那些需要去理會例子的再細分才有效的單獨定理。多個目標的群因此都會有多重的等價。修正後的證明會依靠著不同例子的細分來減少其多餘的部份。
最後，有限群論學家將會有更多的經驗和更新的技術。
散在群
散在群中的其中五個是在1860年代中由馬提厄（Mathieu）所發現的，而其他的21個則是在1965年至1975年之間被找出來的。有一些此類的群在它們被建構出來前曾被預測其會存在。大多數此類的群是以第一個預測出其存在之數學家來命名的。其完整的列表如下：
馬提厄群 M11、M12、M22、M23、M24 詹柯群 J1、J2(HJ)、J3(HJM)、J4 康威群 Co1、Co2、Co3 費歇爾群 Fi22、Fi23、Fi24(Fi24′) 希格曼-西姆斯群 HS 麥克勞林群 McL 赫爾得群 He(F7) 路多里斯群 Ru 鈴木散在群 Suz 歐南群 O'N 原田-諾頓群 HN(F5) 里昂群 Ly 湯普森群 Th(F3) 子怪獸群 B(F2) 怪獸群 M(F1) 對於所有散在群在有限體上的矩陣表示除了怪獸群之外都已經被算出來了。最大的零散單群為F1，名為怪物群或魔群，它的階為2^46*3^20*5^9*7^6*11^2*13^3*17*19*23*29*31*41*47*59*71=808017424794512875886459904961710757005754368000000000,約為10^54。G.格里斯用手算,從47·59·71=196883維的線性表示而得到F1。它有著良好的內在的幾何結構，並且有20個左右的零散單群作為它的子群，所以並不是什麼怪物，G.格里斯改稱它為“友好巨人”。其他6個為J1、J3、J4、O'N、Ru和Ly。這6個群有時會被稱為賤民(pariahs)。
直至目前為止，對散在群的一個可信的統一敘述方面的進展還是很少。
| 中文名 | 英文名 | 符號 | 階 |
|---|---|---|---|
| 小魔群 | BabyMonster group | B | 46426191177580544000000 |
| 原田-諾頓群 | Harada-Norton group | HN | 273030912000000 |
| 赫爾得群 | Held group | He | 4030387200 |
| 希格曼-西姆斯群 | Higman-Sims group | HS | 44352000 |
| 里昂群 | Lyons group | Ly | 51765179004000000 |
| 麥克勞林群 | McLaughlin group | McL | 898128000 |
| 魔群 | Monster group | M | 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 |
| 歐南群 | O'Nan group | O'N | 460815505920 |
| 路多里斯群 | Rudvalis group | Ru | 145926144000 |
| 鈴木群 | Suzuki group | Suz | 448345497600 |
| 湯普森群 | Thompson group | Th | 90745943887872000 |
| 康威群1 | Conway 1 group | Co1 | 43360000 |
| 康威群2 | Conway 2 group | Co2 | 42305421312000 |
| 康威群3 | Conway 3 group | Co3 | 495766656000 |
| 詹柯群1 | Janko 1 group | J1 | 175560 |
| 詹柯群2 | Janko 2 group | J2 | 604800 |
| 詹柯群3 | Janko 3 group | J3 | 50232960 |
| 詹柯群4 | Janko 4 group | J4 | 86775571046077562880 |
| 馬提厄群11 | Mathieu 11 group | M11 | 7920 |
| 馬提厄群12 | Mathieu 12 group | M12 | 95040 |
| 馬提厄群22 | Mathieu 22 group | M22 | 443520 |
| 馬提厄群23 | Mathieu 23group | M23 | 10200960 |
| 馬提厄群24 | Mathieu 24 group | M24 | 244823040 |
參考文獻
1.Michael Aschbacher, The Status of the Classification of the Finite Simple Groups, 2004年8月美國數學學會上的介紹
2.Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups （volume 1），AMS, 1994 （volume 2），AMS,
3.Ron Solomon: On Finite Simple Groups and their Classification, 1995年美國數學學會上的介紹
4.Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: "Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups." Oxford, England 1985。
5.Orders of non abelian simple groups：包含上至一千億目的所有非可換簡單群之列表
6.Atlas of Finite Group Representations：包含包括散在群在內的許多有限簡單群的表示及他資料
