引言
群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽羅瓦在18世紀30年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何學的貢獻之後，群概念在1870年左右形成並牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如置換群、子群、商群和單群等。群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的套用。
歷史
伽羅瓦群論是法國數學家伽羅瓦（Galois）的發明。伽羅瓦是一個極具傳奇性的人物，年僅21歲就英年早逝於一場近乎自殺的決鬥中。他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人也對群論作出了貢獻。
最先產生的是n個文字的一些置換所構成的置換群，它是在研究當時代數學的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時，經由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發展，並有成效地用它徹底解決了這箇中心問題。某個數域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見有限群）。由於一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群S，而當n≥5時S不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構、正規子群等重要概念。應當指出，A.-L.柯西早在1815年就發表了有關置換群的第一篇論文，並在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至於置換群的系統知識和伽羅瓦用於方程理論的研究，由於伽羅瓦的原稿是他在決鬥致死前夕趕寫成的，直到後來才在C.若爾當的名著“置換和代數方程專論”中得到很好的介紹和進一步的發展。置換群是最終產生和形成抽象群的第一個最主要的來源。
在數論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類，即f=ax^2+2bxy+cy^2，其中a、b、с為整數，x、y 取整數值，且D=b^2-aс為固定值，對於兩個型的"複合"乘法，構成一個交換群。J.W.R.戴德金於1858年和L.克羅內克於1870年在其代數數論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導致抽象群論產生的第二個主要來源。
在若爾當的專著影響下，（C.）F.克萊因於1872年在其著名的埃爾朗根綱領中指出，幾何的分類可以通過無限連續變換群來進行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 "自守函式”的研究中曾用到其他類型的無限群（即離散群或不連續群）。在1870年前後，索菲斯·李開始研究連續變換群即解析變換李群，用來闡明微分方程的解，並將它們分類。這無限變換群的理論成為導致抽象群論產生的第三個主要來源。
A.凱萊於1849年、 1854年和 1878年發表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯於1879年和E.內托於1882年以及W.F.A.von迪克於 1882～1883年的工作也推進了這方面認識。19世紀80年代，綜合上述三個主要來源，數學家們終於成功地概括出抽象群論的公理系統，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過抽象群的種種獨立公理系統，這些公理系統和現代的定義一致。
在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的“有限群論”先後兩版，頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論後，有限群論已然形成。無限群論在20世紀初，也有專著，如1916年Ο.ю.施米特的著作。群論的發展導致20世紀30年代抽象代數學的興起。尤其是近30年來，有限群論取得了巨大的進展，1981年初，有限單群分類問題的完全解決是一個突出的成果。與此同時，無限群論也有快速的進展。
時至今日，群的概念已經普遍地被認為是數學及其許多套用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學、代數拓撲學、函式論、泛函分析及其他許多數學分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學科如拓撲群、李群、代數群、算術群等，它們還具有與群結構相聯繫的其他結構如拓撲、解析流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、量子化學以至（代數）編碼學、自動機理論等方面，都有重要的套用。作為推廣“群”的概念的產物：半群和么半群理論及對計算機科學和對運算元理論的套用，也有很大的發展。群論的計算機方法和程式的研究，已在迅速地發展。
就科學內容而言，群論屬於數學範疇，在許多數學分支中都有它的套用。它還被廣泛用於物理、化學及工程科學等許多領域，尤其是物理學成為受惠最多的學科。從經典物理中對稱性和守恆律的研究到量子力學中角動量理論及動力學對稱性的探索再到同位鏇、超荷和SU（3）對稱性在現代基本粒子物理中的套用等無不閃耀著群論思想的光輝。粗略地說，我們經常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質。它也跟物理方程聯繫在一起。基礎物理中常被提到的李群，就類似與伽羅瓦群被用來解代數方程，與微分方程的解密切相關。
在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維鏇轉群，三維鏇轉群以及和四維時空相對應的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構成了Poincare群。
另外，晶體學中早期的關於晶體的各種結構的問題中，也是靠群論中的費得洛夫群的研究給出了答案。群論指出，空間中互不相同的晶體結構只有確定的230種。
在研究群時，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來說都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。
在許多研究群論的數學家眼中，也即指在抽象群論中，數學家關心的是各元素間的運算關係，也即群的結構，而不管一個群的元素的具體含義是什麼。舉一個具體的例子，根據凱萊定理，任何一個群都同構於由群的元素組成的置換群。於是，特別是對研究有限群來說，研究置換群就是一個重要的問題了。
基本概念
定義
設
是一個非空集合，
是它的一個二元運算，如果滿足以下條件：(1)封閉性：若
，則存在唯一確定的
使得
；(2)結合律成立，即對中任意元素
都有
；(3)單位元存在：存在
，對任意
，滿足
。
稱為單位元，也稱麼元；(4)逆元存在：任意
，存在
，
（為單位元），則稱
與
互為逆元素，簡稱逆元。記作
；則稱對構成一個群。通常稱上的二元運算為“乘法”，稱
為與的積，並簡寫為
。若群中元素個數是有限的，則稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。運算
對於
，對於
的子集
，定義
，簡寫為
；
，簡寫為
。對於的子集
,
，定義
，簡寫為
。對於的子集，記
。替換定理
若
是群，則對於任一
，
。子群
若是群，是的非空子集並且
也是群，那么稱
為的子群。這條定理可以判定的子集是否為一個子群：
且
是的子群舉例
全體整數的加法構成一個群：最常見的群之一是整數集，它由以下數組成：...,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...下列整數加法的性質，可以作為抽象的群公理的模型。
1.對於任何兩個整數a和b，它們的和a+b也是整數。換句話說，在任何時候，把兩個整數相加都能得出整數的結果。這個性質叫做在加法下封閉。
2.對於任何整數a,b和c，(a+b)+c=a+（b+c）。用話語來表達，先把a加到b，然後把它們的和加到c，所得到的結果與把a加到b與c的和是相等的。這個性質叫做結合律。
3.如果a是任何整數，那么0+a=a+0=a。零叫做加法的單位元，因為把它加到任何整數都得到相同的整數。
4.對於任何整數a，存在另一個整數b使得a+b=b+a=0。整數b叫做整數a的逆元，記為−a。
全體非零實數的乘法構成一個群對三個互不相同的有序對象的6種不同順序間的改變（包括不變的情況）構成一個六階的群（這是一個有限的置換群的例子），它由此被標記為S3
套用
數學
群論在數學上被廣泛地運用，通常以自同構群的形式體現某些結構的內部對稱性。結構的內部對稱性常常和一種不變式性質同時存在。如果在一類操作中存在不變式，那這些操作轉換的組合和不變式統稱為一個對稱群。
阿貝爾群概括了另外幾種抽象集合研究的結構，例如環、域、模。
在代數拓撲中，群用於描述拓撲空間轉換中不變的性質，例如基本群和透射群。
李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其結合了群論和分析數學，李群能很好的描述分析數學結構中的對稱性。對這類群的分析又叫調和分析。
在組合數學中，交換群和群作用常用來簡化在某些集合內的元素的計算。
物理
幾何晶體學的發展：
晶體點陣、點群、空間群這些概念的誕生以及他們在晶體學中的套用。這個主要發展時間是19世紀末，20世紀初，代表人物是熊夫利（Schöneflies，德國猶太人）、赫爾曼（Hermann，德國人）、毛古因（Mauguin，法國人）。)
對稱性與守恆量之間的關係：
代表人物是諾特（Noether，女士，德裔猶太人）。她沒得諾獎，不過這個不影響她本身的偉大。諾特定理的基本內容是“anydifferentiablesymmetryoftheactionofaphysicalsystemhasacorrespondingconservationlaw”，也可以說是任何一個保持拉格朗日量不變的微分算符，都對應一個守恆的物理量。
包括空間平移對稱性對應動量守恆、時間平移對稱性對應能量守恆、鏇轉對稱性對應角動量守恆，等等。
量子力學：
代表人物是維格納（Wigner，匈牙利猶太人）。他也因為這方面的研究獲得了1963年的諾貝爾物理獎。他的獲獎原因，原話是“forhiscontributionstothetheoryoftheatomicnucleusandtheelementaryparticles,particularlythroughthediscoveryandapplicationoffundamentalsymmetryprinciples”。Wigner有一本書，叫《Grouptheoryanditsapplicationstothequantummechanicsofatomicspectra》，1931年寫的。也就是在這個之後，在物理學問題的研究中使用對稱性的知識徹底地成為了一種思維。
化學
最具代表性的領域是理論化學，很關鍵的一個人物是鮑林（Pauling）。他是第一個將量子力學基本原理、分子軌道、分子設計這些概念引入到化學研究中的人。也是我們現在公認的量子化學、分子生物學的開創人。
化學領域中，比如晶體學、空間群和點群描述分子對稱性和晶體對稱性。這些對稱性位於這些系統的化學和物理表現的底層，而群論使簡化對這些性質的量子力學分析成為可能。例如，群論被用來證實在特定量子級別間不出現光學躍遷簡單的因為涉及到了狀態的對稱性。
群不只對評定在分子中蘊含的對稱性有用，而且令人驚奇的它們還可以預測出分子的對稱性有時候可以改變。姜-泰勒效應是高對稱的分子的變形，此時，在通過分子的對稱運算相互關聯的一組可能基態中，該分子將採納一個特定的低對稱的基態。
同樣的，群論還可以幫助預測在物質經歷相變的時候出現的物理性質的變更，比如晶體形式從立方體變為四面體。一個例子是鐵電物質，這裡從順電到鐵電狀態的變更出現在居里溫度時，與從高對稱順電狀態到低對稱鐵電狀態的變更有關，並伴隨著所謂的軟聲子模式，它是在變化時轉到零頻率的振動晶格模式。
