最小方差控制

使有隨機噪聲作用的系統的輸出量的起伏方差保持為最小的控制方式。最小方差控制方式可套用於許多工業過程控制中。最小方差控制是隨機最優控制（見隨機控制理論）的特殊情形。隨機控制的概念和方法也完全適用於這類控制。最小方差控制的求解和實現更為簡單，套用更為方便。

正文

假定對象輸出y(t)、控制輸入u(t)和隨機干擾 ε(t)之間的關係由可控自回歸滑動平均(CARMA)時間序列模型來描述：

y(t)+a1y(t-1)+…any(t-n)
　＝b0u(t-k)+b1u(t-k-1)+…+bnu(t-k-n)+ ε(t)+c1ε(t-1)+…+cnε(t-n)

式中t時刻輸出值y(t)與直到n步前的值 y(t-n)有關這一事實，反映了運動過程的記憶性；輸入u(t-k)要經過k步延遲才能影響輸出值;ε(t)為前後獨立的隨機干擾序列。引入延遲運算元q-1:q-1x(t)=x(t-1),並採用多項式記號：

A(q-1)＝1+a1q-1+…+anq_n

B(q-1)＝b0+b1q-1+…+bnq_n

C(q-1)＝1+c1q-1+…+cnq_n

則系統模型可簡化為

A(q-1)y(t)＝B(q-1)u(t-k)+C(q-1)ε(t)

最小方差控制是使輸出y(t)的方差V＝E{y2(t)}取最小值的控制。由於控制u(t)只與y(t)、y(t-1)、…和u(t-1)、u(t-2)、…等已獲取的信息有關,而u(t)直到k步後才開始影響輸出y(t+k)的值,因此實現最小方差控制的關鍵在於預報k步以後的輸出，然後選取控制值,使預報值恰等於理論值。最優控制解為

u＝-B-1(q-1)G(q-1)F-1(q-1)y(t)

式中多項式F和G由下列方程解出

C(q-1)=F(q-1)A(q-1)+q_kG(q-1)

這裡F的階數不超過k-1。這類有限步數的最小方差控制還可推廣到無窮步數的情形和多輸入、多輸出情形。
參考書目
　K.J.奧斯特略姆著,潘裕煥譯:《隨機控制理論導論》，科學出版社,北京，1983。(K.J. Astr╂m，Introduction to Stochastic Control Theory，Academic Press, New York,1970.)

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