定義
山路引理
山路引理山路引理設 是Banach空間， 滿足
山路引理
山路引理
山路引理(i) ，存在 使得 ；
山路引理
山路引理(ii) 存在 使得 。
山路引理 山路引理令 是 中聯結0與e的道路的集合，即
山路引理再記
山路引理
山路引理
山路引理 山路引理 山路引理那么， ， 關於c有臨界序列。如果 再滿足P-S條件，則c是 的臨界值。
山路引理的證明
形變定理
山路引理 山路引理
山路引理
山路引理
山路引理設 ，c∈R。如果 關於c沒有臨界序列，則存在 ，使得：對任意 ，存在滿足下列條件的函式 ：
山路引理1° ；
山路引理2° 關於t是單調減函式，特別地有
山路引理
山路引理
山路引理3° 當 ；
山路引理
山路引理
山路引理4° 是 的同胚(對任意取定的 )；
山路引理5° ；
山路引理6° ；
山路引理
山路引理7°如果 為偶泛函，則 對u為奇運算元(t取定時)。
引理
山路引理 山路引理 山路引理 山路引理設 ，如果 滿足P-S條件，且 關於c有臨界序列，則c為 的臨界值。
證明過程
山路引理
山路引理
山路引理
山路引理 山路引理證明： 任取 ，由於 連續，因而 ， 再由(2)知 ，又對任意 ，由條件(ii)及(i)有
山路引理
山路引理
山路引理
山路引理根據 的連續性知道，存在 ，使得 ，因此由(i)得
山路引理 山路引理從而由(2)得 。
山路引理 山路引理
山路引理
山路引理
山路引理 山路引理假如 關於c沒有臨界序列，由形變定理，存在 ，當 時，存在 具有性質1°～6°。對 ，由(2)知道：存在 使得
山路引理
山路引理考慮 ，由於
山路引理由性質3°得出
山路引理
山路引理
山路引理因此 ，從而由(2)有
山路引理由(3)及性質6°得
山路引理即
山路引理 山路引理 山路引理 山路引理此式與(4)相矛盾，故 關於c有臨界序列。如果 再滿足P-S條件，由引理得出； c是 的臨界值。證完。
