性質
基本知識
對數公式① ；
對數公式② ；
③負數與零無對數.
對數公式
對數公式④ * =1；
恆等式及證明
對數公式運算的理解與推導by尋韻天下a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1） 推導：log(a) (a^N)=N恆等式證明
在a>0且a≠1，N>0時
設：當log(a)(N)=t，滿足(t∈R)
則有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
證明完畢
運算法則
對數公式①
對數公式②
對數公式③
(M,N∈R)
對數公式
對數公式如果 ，則m為數a的自然對數，即 ，e=2.718281828…為自然對數
對數公式
對數公式的底，其為無限不循環小數。定義： 若 則
基本性質：
對數公式1、
對數公式2、
對數公式3、
對數公式4、
對數公式5、
推導：
對數公式
對數公式 對數公式1、因為 ，代入則 ，即 。
2、MN=M×N
由基本性質1(換掉M和N)
對數公式由指數的性質
對數公式又因為指數函式是單調函式，所以
對數公式3、與（2）類似處理 M/N=M÷N
由基本性質1(換掉M和N)
對數公式由指數的性質
對數公式又因為指數函式是單調函式，所以
對數公式4、與（2）類似處理
由基本性質1(換掉M)
對數公式由指數的性質
對數公式又因為指數函式是單調函式，所以
對數公式或
對數基本性質4推導過程
對數公式由基本性質2（展開 ，如圖所示）
基本性質4推廣
對數公式
對數公式
對數公式推導如下： 由換底公式（見下面）[ 是 ，e稱作自然對數的底]
對數公式
對數公式換底公式的推導： 設 則
對數公式
對數公式其中
對數公式得：
對數公式由基本性質4可得
對數公式再由換底公式
換底公式
設b=a^m，a=c^n，則b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①
對①取以a為底的對數，有：log(a)(b)=m……………………………..②
對①取以c為底的對數，有：log(c)(b)=mn……………………………③
對數公式③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
註：log(a)(b)表示以a為底b的對數。
換底公式拓展：
以e為底數和以a為底數的公式代換：
logae=1/（lna）
推導公式
log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1
loge(x)=ln(x)
lg(x)=log10(x)
求導數
(xlogax)'=logax+1/lna
其中，logax中的a為底數，x為真數；
(logax)'=1/xlna
特殊的即a=e時有
(logex)'=(lnx)'=1/x
