埃爾米特插值多項式逼近

埃爾米特插值是一種常見的插值方法。埃爾米特插值多項式可以從各方面擴充。可以在某些結點處放棄對某些階導數的要求，這就是所謂伯克霍夫插值。其中常見的是(0,2)插值,也即對於給定的結點組□□以及數組□,□，要確定一個次數不高於2□-1的代數多項式□使得當取□時，考慮□2□-1(□,□)對□(□)的逼近，也可以考慮埃爾米特插值多項式對函式及其導數的同時逼近。

埃爾米特插值多項式逼近

正文

埃爾米特插值是一種常見的插值方法。假設在區間【α，b】上給定了n個互不相同的點x1，x2,…,xn以及一張數表

(*)

記m=α1+α2+…+αn。早在 1878年C.埃爾米特就證明:存在惟一的次數不高於m-1的代數多項式Hn(x),使得

,

Hn(x)為表(*)的以 為結點組的埃爾米特插值多項式。如果定義在【α，b】上的函式 ƒ(x)在xk(k=1，2，…,n)處有αk-1階導數，並取，則稱相應的Hn(x)為ƒ(x)的以為結點組的(α1,α2,…,αn)階埃爾米特插值多項式。作為特殊情況,若諸αk都為1,則Hn(x)就是ƒ(x)的拉格朗日插值多項式;若n=1，則Hn(x)為ƒ(x)的α1-1階泰勒多項式。最使人們注意的是諸αk都為2的情況,這時Hn(x)為次數不高於2n-1的代數多項式。如果寫

Hn(x)可表示為

在這種情況下，常取,而給以適當的限制。這個想法大致起源於拉格朗日插值多項式的研究。為了改善插值多項式的逼近度，需對其導數作一定的要求。
為了簡單，考慮定義區間為【-1,1】的情況。L.費耶爾首先讓，稱

為函式ƒ(x)的埃爾米特－費耶爾插值多項式。如果取切比雪夫多項式Tn(x)=cos(n arc cos x) 的零點全體為結點組, 則有絕對常數с，使得對於【-1,1】 上的任一連續函式ƒ(x)都有

式中-1≤x ≤1，ω(ƒ,δ)為ƒ(x)的連續性模。然而，用ƒn(ƒ,x)逼近ƒ(x)有其飽和性,逼近階最多為1/n。若

關於【-1,1】上的x均勻成立,則ƒ(x)是個常數。但是對於其他結點組，會有較大的差異。例如，取勒讓德多項式

的零點全體為結點組時,對於【-1,1】上的連續函式ƒ(x)，相應的ƒn(ƒ,x)僅可能在(-1,1)中內閉一致收斂於ƒ(x)，為了使n→∞時，Fn(ƒ，x)在【-1,1】上一致收斂於ƒ(x)，充分必要條件是

。

這種在區間端點發生奇異的情況並不很稀有，它促使人們去改變端點的插值情況。P.圖蘭首先提出在區間端點xon=1,xn+1n=-1處取值與函式取值相同的要求。從而構造了擬埃爾米特-費耶爾插值多項式Q2n+1(ƒ,x),即假定結點組是取在開區間(-1,1)中的,而2n+1次代數多項式Q2n+1(ƒ,x)滿足條件

，

。

這時，如取為Xn(x)的零點全體，則

。

當然也可以考慮僅在一端插值的情況。然而，倘若將端點作為結點，又會發生劇烈的變化。例如，取

,

，

則以 為結點組的埃爾米特-費耶爾插值多項式序列Fn+2(ƒ,x)，對於 ƒ(x)=x2這樣好的函式，也會在(-1,1)中處處發散。而取

為結點組時,相應的Fn+2(ƒ,x)對於連續函式ƒ(x)卻有逼近階

。

埃爾米特插值多項式可以從各方面擴充。例如，可以在某些結點處放棄對某些階導數的要求，這就是所謂伯克霍夫插值。其中常見的是(0,2)插值,也即對於給定的結點組以及數組,，要確定一個次數不高於2n-1的代數多項式使得

，

,(k=1,2,…,n)。當取αkn=ƒ(γkn)時，考慮S2n-1(ƒ,x)對ƒ(x)的逼近，也可以考慮埃爾米特插值多項式對函式及其導數的同時逼近。例如，取

為結點，對於【-1,1】上的可微函式，考慮

對ƒ(x)及ƒ'(x)的同時逼近。此時有

至於對於無限區間或周期函式的情形，自然也可作類似的討論，只是在周期的情形，有時插值三角多項式卻未必存在。
至於ƒ(x)的(α1,α2,…,αn)階埃爾米特插值多項式Hn(x)對ƒ(x)的逼近,如果ƒ(x)在【α,b】上有m階導數,則在【α,b】中有與x有關的點ξ使得

，

式中。

配圖

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