和角公式

和角公式

和角公式又稱三角函式的加法定理是幾個角的和(差)的三角函式通過其中各個角的三角函式來表示的關係。三角函式是數學中屬於初等函式中的超越函式的一類函式。

基本信息

三角函式和角公式

一般的最常用公式有:

和角公式 和角公式
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和角公式 和角公式

正弦餘弦記憶口訣:正余同餘正,余余反正正。

五個字代表右邊的公式,“同”和“反”則表明中間的符號與左邊是否一樣;其中第一個字也代表是餘弦公式還是正弦公式。

證明

法一:向量證明

在平面直角坐標系中,以x軸為始邊,作角α,角β,分別記其終邊單位向量為 a, b,則 a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ)

a · b=| a|| b|cos< a, b>

a · b=cosα·cosβ+sinα·sinβ

且| a|=| b|=1

∴cos< a, b>=cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

用-β代替β,得cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

由誘導公式6,得sin(α-β)=-cos[(α-β)+π/2]=-cos[(α+π/2)-β]

=-[cos(α+π/2)·cosβ+sin(α+π/2)·sinβ]

=-[-sinα·cosβ+cosα·sinβ]

=sinα·cosβ-cosα·sinβ

同理得 sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ)

同除cosα·cosβ,得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

同理,tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

證畢

法二:幾何證明

下圖α,β標識有誤,建議放大觀看。其中∠AOB應為α,∠AOP應為β。

和角公式 和角公式

cos(α-β)=OM

=OB+CP

=|OA|cosα+|AP|sinα

=cosα·cosβ+sinα·sinβ

適用範圍

和角公式是三角函式的一個基本公式,其實際套用有以下幾個方面:

1、其它三角公式的推導依據。

2、三角函式值的計算。

連同勾股定理,可以計算出各角度對應的函式值,是編制三角函式表的基本工具。

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