吉布斯現象

吉布斯現象Gibbs phenomenon（又叫吉布斯效應），將具有不連續點的周期函式（如矩形脈衝）進行傅立葉級數展開後，選取有限項進行合成。當選取的項數越多，在所合成的波形中出現的峰起越靠近原信號的不連續點。當選取的項數很大時，該峰起值趨於一個常數，大約等於總跳變值的9%。

基本信息

• 中文名：吉布斯現象
• 英文名：Gibbs phenomenon

• 別名：吉布斯效應
• 起因：是由於信號不連續點位置導致的

歷史起源

吉布斯現象示意圖

數學界有過一場“正弦曲線能否組合成一個帶有稜角的信號”的爭議，這場爭議的男主角分別是傅立葉和拉格朗日。
直到1898年，美國人阿爾伯特·米切爾森做了一個諧波分析儀，當他測試方波時驚訝的發現方波的XN(t)在不連續點附近部分呈現起伏，這個起伏的峰值大小似乎不隨N增大而下降！於是他寫信給當時著名的數學物理學家吉布斯，吉布斯檢查了這一項結果，隨即發表了他的看法：隨著N增加，部分起伏就向不連續點壓縮，但是對任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不變，這就是吉布斯現象。
吉布斯現象示意圖如右圖所示。

Gibbs現象

解釋

吉布斯現象

圖像的傅立葉變換，由於其變換本身有多種成熟的快速算法（FFT算法），而且性能接近於最佳，從而獲得較早的也比較廣泛的研究。它的不足之處在於：相鄰子圖像數據在各個邊界不連續造成的所謂Gibbs現像。這是由於圖像數據的二維傅立葉變換實質上是一個二維圖像的傅立葉展開式。這個二維圖像應被認為是周期性的。

由於子圖像的變換係數在邊界不連續，而將造成復原的子圖像在其邊界也不連續。於是由復原子圖像構成的整幅復原圖像將呈現隱約可見的以子圖像尺寸為單位的方塊狀結構，影響整個圖像質量。當子圖像尺寸較小時更為嚴重。

解決方法

解決這個Gibbs現象的方法是後來研究出來的二維餘弦變換（DCT）代替二維傅立葉變換。基本思路為：用一個對稱的2N*2N像素的子圖像代替原來N*N子圖像。由於對稱性，子圖像作二維傅立葉變換，其變換係數將只剩下實數的餘弦項。這樣，即可消除Gibbs現象。

相關公式

定義

吉布斯自由能吉布斯自由能又叫吉布斯函式，是熱力學中一個重要的參量，常用G表示，它的定義是：
G=U−TS+pV=H−TS
其中U是系統的內能，T是溫度，S是熵，p是壓強，V是體積，H是焓。

微分形式

吉布斯自由能的微分形式是：
dG=−SdT+Vdp+μdn
其中μ是化學勢。

物理含義

吉布斯現象

吉布斯自由能的物理含義是在等溫等壓過程中，除體積變化所做的功以外，從系統所能獲得的最大功。換句話說，在等溫等壓過程中，除體積變化所做的功以外，系統對外界所做的功只能等於或者小于吉布斯自由能的減小。數學表示是：
如果沒有體積變化所做的功，即W=0，上式化為：

也就是說，在等溫等壓過程前後，吉布斯自由能不可能增加。如果發生的是不可逆過程，反應總是朝著吉布斯自由能減少的方向進行。

特別地，吉布斯自由能是一個廣延量，單位摩爾物質的吉布斯自由能就是化學勢μ。

偽吉布斯效應

概念

偽吉布斯效應是指不連續點四周的信號會在一個特定目標水平上下波動。

起因

是由於信號不連續點位置導致的。