十七角星

16a=-sin 16a=2sin 4acos4acos8a=16sin

發明者簡介

卡爾·弗里德里希·高斯,德國著名數學家物理學家天文學家、大地測量學家。和牛頓阿基米德,被譽為有史以來的三大數學家,是近代數學奠基者之一,18歲時發現了質數分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數據的處理後,可以得到一個新的、機率性質的測量結果。在這些基礎之上,高斯隨後專注於曲面與曲線的計算,並成功得到高斯鐘形曲線(常態分配曲線)。其函式被命名為標準常態分配(或高斯分布),並在機率計算中大量使用。1799年高斯於黑爾姆施泰特大學因證明代數基本定理獲博士學位。從1807年起擔任哥廷根大學教授兼哥廷根天文台台長直至逝世。高斯的肖像已經被印在從1989年至2001年流通的10元面值德國馬克紙幣上。

正十七角星作法

先計算或作出cos(360°/17)
設正17邊形中心角為a,則17a=360°,即16a=360°-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等於0,兩邊除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a(三角函式積化和差公式)等
注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(誘導公式)等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
經計算知xy=-1
因而:x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4
其次再設:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+√17)/4
y1+y2=(-1-√17)/4
最後,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表達式,它是數的加減乘除平方根的組合, 故正17邊形可用尺規作出

步驟一

給一圓O,作兩垂直的半徑OA、OB,
在OB上作C點使OC=1/4OB,
在OA上作D點使∠OCD=1/4∠OCA  作AO延長線上E點使得∠DCE=45度。

步驟二

作AE中點M,並以M為圓心作一圓過A點,
此圓交OB於F點,再以D為圓心,作一圓
過F點,此圓交直線OA於G4和G6兩點。

步驟三

過G4作OA垂直線交圓O於P4,
過G6作OA垂直線交圓O於P6,
則以圓O為基準圓,A為正十七邊形之第一頂點P4為第四頂點,P6為第六頂點。
以1/2弧P4P6為半徑,即可在此圓上截出正十七角星的所有頂點。

簡易作法

因為360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用該方法作正十七邊形總誤差為17*4′=68′,在不要求十分精確的情況下還是可行的。 作法如下:1.先畫一條直線,用圓規在上面截取5條相等線段,(儘量越短越好),再截取之前四條線段的和,接續之前畫的線段。這樣,如果每條小線段算作0.1的話,那么整條線段就是1.8。 2.用圓規截取之前5條小線段的長,畫5次,這樣這條線段就是5。1.8/5=0.36。準備工作完畢! 3.另作一條直線,作垂線,1.8的線段作為對邊,5的線段作為斜邊,那個最小的銳角即是近似的360°/17的角。以其頂點為圓心,重複作角直至閉合。畫一大圓,連線其與17條射線的交點,即可。

相關小故事

大多數的同學認識數學王子—高斯(GAUSS.德國數學家西元1777~1855)是由國中數學課本講等差級數時有這一則故事。據說高斯在幼年時,老師出了一道複雜的計算題,即「求由1到100所有整數和」,但高斯卻令人驚訝的在幾秒內就算出他的正確答案為〝5050〞。使他的老師再也不敢看不起鄉下小孩。更進而賣力地幫助高斯,直到他無法教給高斯更進一步的數學知識。

相關理論

高斯不但解決了正十七邊形的作圖問題,而且也知道在理論上,用圓規和直尺作圖,哪些正多邊形可以做到,哪些是不能做到。他的定理說:
正n多邊形可以尺規作圖之充要條件是n可以寫成,其中都是不相同的費馬質數。所謂費馬質數就是型如的質數,法國數學家Pirre Fermat(費馬1601-1665)曾研究這些數並猜想所有型如的數皆為質數,這是不對的。Euler(尤拉1707~1783)發現含有因數641。1958年利用電子計算機發現能被所整除。前者大得不能想像;如果有人用一公分寬的數目字把他寫成十進位,他能繞可見的宇宙無數次。

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