代數數論[數論重要分支]

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數論的一個重要分支。它以代數整數,或者代數數域為研究對象,不少整數問題的解決要藉助於或者歸結為代數整數的研究。因之,代數數論也是整數研究的一個自然的發展。代數數論的發展也推動了代數學的發展。 引申代數數的話題,關於代數整數的研究,主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題,而為了達到此目的,這個領域與代數幾何之間的關聯尤其緊密。代數數論主要起源於費馬大定理的研究。法國數學家P. de費馬在學習與翻譯丟番圖的《算術》一書時,在書邊上寫下了著名的"大定理",即方程x^n + y^n = z^n(n>2)沒有xyz≠0的整數解。

具體介紹

公式1 公式1

代數數論主要起源於費馬大定理的研究。法國數學家P. de費馬在學習與翻譯丟番圖的《算術》一書時,在書邊上寫下了著名的"大定理",即方程x^n+y^n=z^n(n>2)沒有xyz≠0的整數解。 經過三個半世紀的努力,這個世紀數論難題才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒於1995年成功證明。證明利用了很多新的數學,包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式,以及伽羅華理論和Hecke代數等,令人懷疑費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由於成功證明此定理,獲得了1998年的菲爾茲獎特別獎以及2005年度邵逸夫獎的數學獎。

公式2 公式2
公式3 公式3
公式4 公式4

容易看出,這個結果的證明,可以歸結到n=4以及n為奇素數的情形。費馬本人給出了n=4的證明,L.歐拉與A.-M.勒讓德證明了n=3的情形,P.G.L.狄利克雷證明了n=5的情形。雖然對於許多奇素數,人們已經證明了這個結果,但始終沒有得到一個一般的證明。E.E.庫默爾是努力證明費馬大定理的數學家之一。他利用n次本原單位根代數數論把方程 xn+yn=zn寫成(公式1)代數數論,他以為在分圓域代數數論中, “整數”也象普通整數一樣,可以唯一地分解成素數的乘積。在這個前提下,庫默爾給出費馬大定理的證明。不久,他自己發現他的假定是錯誤的,即在分圓域中, “整數”分解成素數的乘積不具有唯一性。這個發現使庫默爾引入“理想數”的概念,他隨之證明了,每個“理想數”可以唯一地分解成素因子的乘積,因而就建立了分圓域上的數論。J.W.R.戴德金把庫默爾的工作系統化並推廣到一般的代數數域,為代數數論奠定了基礎。

C.F.高斯關於二元二次型的深入研究也引起了二次數域算術的研究。

公式5 公式5

有理數域Q上的有限擴張K 稱為有限次的代數數域,K 對Q 的次數n=【K:Q】就是指K作為Q上線性空間的維數。 K中每個元素都是一個次數不超過n的有理係數多項式(公式2)的根。因為乘一非零整數後,多項式的根不變,所以不妨假定(1)是整係數多項式。如果K 中元素α使一個首項係數為1(即α0=1)的整係數多項式(1)為零,那么α就稱為一代數整數。K 中全體代數整數組成一個具有單位元素的交換整環OK。對於環OK中的理想A、B定義乘法(公式3)。

公式6 公式6

即由A、B中元素之積的有限和組成的集合,顯然,AB也是OK的理想。一個理想P 稱為素理想,就是指由αβ∈P必有α∈P或β∈P。可以證明,在代數整數環OK中,每個非零理想A都可以唯一地分解成素理想的乘積,即A=P1P2…Pt,其中Pi(i=1,2,…,t)是素理想。在通常的整數環Z中,每個理想都是由一非負整數的倍數所組成,因之,非零理想與正整數是一一對應的。由此可見,關於理想分解的定理正是通常整數的因子分解定理的一個推廣。

公式7 公式7

OK的全體非零理想組成一乘法半群, OK就是這個乘法半群的單位元素。為了方便,引入分式理想的概念。如果K 的一個子集合A是一個有限生成的OK模,那么A 就稱為一分式理想。顯然,理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整數倍rα(r∈OK)組成的集合也是分式理想,它們稱為主分式理想。對於分式理想可以同樣地定義乘法。可以證明,K 中全體非零的分式理想在乘法下成一群,而且每個分式理想A 都可以唯一地表成素理想方冪的乘積(公式4)這個群稱為K的理想群,記為IK。

公式8 公式8

環OK中可逆元素稱為單位。全體單位組成一乘法群,記為UK。顯然,K 中非零元素α 生成的主理想(α)=OK的充分必要條件是α∈UK。下面的正合列是基本的(公式5)

公式9 公式9

其中K*表示K 中全體非零元素組成的乘法群,而φ 把K*中元素映射到它生成的主理想(公式6)CK稱為K的理想類群,其元素是理想類。按定義IK,中兩個理想A、B屬於同一類,若且唯若有α∈K*使A=αB。代數數論中一個基本的事實是:CK為一有限阿貝爾群,hK=|CK|稱為K的類數。當hK=1,即每個理想都是主理想,OK為一主理想環,從而因子分解唯一性定理成立。在一定意義上,理想類群CK與類數hK反映了代數數域K在算術上的複雜性。直到現在,類群結構的研究與類數的計算,始終是代數

數論中重要問題之一。即使是二次域類數的計算也是很困難的,一個值得注意的進展是 Heegner最先證明了(公式7)它們分別是d=1,2,3,7,11,19,43,67,163等9個被業界稱為Heegner 數。

公式10 公式10

正合列(2)的另一端是單位群UK,它的結構已被狄利克雷完全決定。他證明了UK=HK×VK,式中HK為K中全部單位根組成的有限群,VK是一秩為r1+r2-1的自由阿貝爾群,r1為K 到實數域R 同構的個數,2r2為K到複數域C 同構(非實的)個數。VK的一組基稱為基本單位組。具體算出基本單位組是代數數論中又一個重要的問題。基本單位組與類數有密切的聯繫。整數環中一個素數p 在OK中生成一個理想pOK,一般地,它不一定是OK中的素理想。研究素數p 在OK中的素理想分解的規律,是代數數論中一個中心問題。下面把這個問題放在一個更廣的形式下來討論。

設L是代數數域K上的一個l次擴張,L當然仍是一個代數數域。它的代數整數環為OL,顯然,(公式8)且OL為OK的一個有限生成模。

公式11 公式11

如果OL是OK上一自由模(秩一定是l),那么在OL中就有l個元素r1,r2,…,rl構成OL的一組基,即(公式9)這樣的元素組r1,r2,…,rl稱為OL對於OK的一組整基。當OK是主理想環時,由主理想環上有限生成模的結構定理可知,OL對於OK一定有整基。特別地,代數整數環OK對於整數環Z一定有整基。

設P是OK中一個素理想。POL是OL中一個理想,它在OL中有素理想分解(公式10)

公式12 公式12

因為代數整數環是戴德金環,素理想都是極大理想,即代數整數環對於素理想的商環是域。對於(3),可以證明Qi∩OK =P,i=1,2,…,g。因而OK/P可以看作OL/Qi的子域。令(公式11)它稱為Qi對於P的剩餘次數,ei稱為Qi對於P 的分歧指數。於是有(公式12)

如果在(3)中有某個ei>1,即POL被素理想Qi的平方整除,就說P 在L 中分歧,而Qi就稱為在K上分歧。否則就稱為非分歧。如果OK中所有的素理想在L中都是非分歧的,L就稱為K 的一個非分歧擴張。

公式13 公式13

判別式與差積是刻畫分歧的兩個重要概念。令Tr表示有限擴張L到K 的跡。對於L中任意l個元素v1,v2,…,vl,可知det│Tr(vi,vj)│=0的充分必要條件是v1,v2,…,vl,在K上線性相關。在OL中取l個在K上線性無關的元素v1,v2,…,vl,作(公式13)對於OL中所有可能的線性無關的元素組 v1,v2,…,vl,det│Tr(vi,vj)│在OK中生成一個理想Δ(L/K),它稱為L對於K的判別式。可以證明,OK中素理想P在L中分歧,若且唯若P|Δ(L/K)。由此可知,K中分歧的素理想只有有限多個,且L為非分歧擴張的充分必要條件是:Δ(L/K)=OK。利用判別式可以證明,有理數域上沒有次數大於1的非分歧擴張。

公式14 公式14

在L中定義C={v∈L│Tr(vOL)嶅OK},顯然C 是L的一個分式理想,且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1,它是OL中一個理想,稱為L對於K 的差積。可以證明,OL中素理想Q在K上分歧,若且唯若Q|δ(K/L)。差積與判別式有密切聯繫。

研究代數數域的算術性質與代數性質之間的聯繫,是代數數論的一個重要的方面。

設L/K是一伽羅瓦擴張,g=g(L/K)是伽羅瓦群。可以證明,在分解式(3)中,素理想Q1,Q2,…,Qg在伽羅瓦群 g下是可遷的,因而有即對於OK中素理想P有代數數論代數數論且Q1,Q2,…,Qg有相同的剩餘次數ƒ。公式(4) 就成為l=eƒg。 令 D1為 Q1在 g 中的穩定子群,即代數數論代數數論,顯然【g:D1】=g,|D1|=eƒ。令 岧=OL/Q1,噖 =OK/P,於是D1中每個元素誘導出岧/噖 的一個自同構。可以證明,代數數論是一滿同態。令K1為這個同態的核,顯然,【D1:K1】=ƒ,│K1│=e,D1稱為Q1的分解群,K1稱為Q1的惰性群。對Qi相應地有子群Di與Ki, 在g中它們分別與D1與K1共軛。當 P非分歧時,代數數論代數數論(因噖、岧是有限域)。由伽羅瓦基本定理,相應地有一串域代數數論代數數論是L的一個最大的域,P 在其中不分歧。當P 分歧時,群K1還可進一步細分,即定義所謂高階分歧群。這是由D.希爾伯特建立的一套重要的理論,稱為希爾伯特分歧理論。

對於代數數域上的阿貝爾擴張,有很深刻的結果,即所謂類域論。

唯一因子

代數數域K的整數環OK的元素的素分解和整數環Z的素數分解有不同之處,不是每個OK的元素都唯一分解。雖然OK元素的唯一分解束在某些情況下可能成立,如高斯整環,但在其它情況下可能會失敗, 如二次域Z [√-5]中,6就不是唯一分解。

OK的理想類群是一個整數環OK的元素是否唯一因子分解的度量,特別是當整數環OK理想類群是平凡群時,若且唯若O為唯一分解整環

O的唯一因子分解和OK素理想間關係:

OK元素的唯一分解可能成立:這時OK的理想的唯一分解成素理想(即它是一個戴德金整環)。這使得在研究OK的素理想尤其重要。從另方面,從整數環Z更改為代數數域K的整數環OK後,整數環Z中素數就能生成Z素理想(其實,Z的每一個素理想(p)的形式是:pZ)可同一素數在O中可能不再生成素理想,例如,在高斯整環中,理想2Z[i]不再是素理想,

但理想3Z[i]是一個素理想。高斯整環唯一因子分解完整的答案使用費爾馬大定理,其結果為:

得出這種簡單的結果對更一般的整數環來說是代數數論的基本問題。當代數數域K是有理數Q的阿貝爾擴張時(即阿貝爾群的伽羅瓦擴張)類域論實現了這一目標。

素元和素點

(根據類域論,因K為有理域Q時OK才有唯一分解,以下K=Q,注意有理域Q和有理數域不同,實域R和實數域不同)

在OK素理想的概念的一個重要的推廣是理想論,也叫賦值論,這兩種方法之間的關係如下:

運算為通常的絕對值函式|·|,映射有理域Q→實域R的,令絕對值函式|·|p: 定義稱為p-adic絕對賦值,p∈Z中的素數。由奧斯特洛夫斯基的定理,所有p-adic絕對賦值對Q是等價類,p-adic絕對賦值可看成類似通常素數。更普遍的,代數數域K的絕對賦值稱為一個素點places。K中素元分兩類:像p-adic絕對賦值|·|p這種等價類是有限的,被稱為有限素元(有限素點)。而通過復域C的模|·|方式定義的素元可看成復域C一個無限子集,被稱為無限素元(或無限點)。因此,一般表示Q的素元集合為{2,3,5,7,...,∞},在這種情況下|·|∞是有理域Q的素元(素點)。

K的無限素元可有嵌入同態K→C(即非零的環同態,從K到C)。具體來說,可把嵌入分成兩個不相交的子集,那些像在R中算一個子集S1,其餘的為另一子集S2。S1的每個嵌入σ:K→R,對應唯一一個和通常絕對值一樣的絕對賦值;這種方式產生的一個素元的被稱為一個實素元(或實素點)。S2的一個嵌入τ:是K→C不包含在R中的的像,可以形成另一個唯一的嵌入τ,稱為共軛嵌入,組成的復共軛映射為τ的C→C.而此絕對賦值為複數的模:|z| = |z| 。這樣的素元叫一個復素元(或復素點)。這樣無限素元的集合的描述如下:每個無限素元對應到一個唯一的。

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