0/0
/0（稱之為未定式）在數學上沒有定義。在物理上這是有一定的解釋的。比如說電阻定義 R=，當電壓和電流都為0時R的值不確定。0/0與導數的區別（出自導數的哲學意義）
應該說無窮小量，起源於微積分學。例如，我們研究二次函式y=x^2的變化率。首先，我們考察y=x^2這一法則下在某一點p(x0，y0）的Δy/Δx。 Δy/Δx=[(x0+△x)^2-x0^2]/△x =[x0^2+2x0△x+△x^2-x0^2]/△x =（2x0△x+△x^2）/△x =（2x0+△x)*（△x/△x） =2x0+△x 現在我們取極限（最終形態），令△x=0：此時我們就有所謂的極限limΔy/Δx=2x0 然而，這種推導在邏輯上是有一個漏洞的。該結論的前提是我們在令△x=0時，依舊堅持△x/△x=1！△x/△x=1的存在則否定了令△x=0的假設，這裡的△x/△x=1絕不會是0/0=1（因為0/0到底是多少無從可知！）。 說白一點就是在推導過程中，先要假設△x≠0，否則就無法把它作為分母，更不能把它約掉從而得出2x0+△x；當我們得出2x0+△x，就立刻出爾反爾的讓△x=0來得到2x0。既然，一開始2x0+△x是在△x≠0的條件下得到的，憑什麼最後又讓△x=0呢！ 微積分的創始人之一牛頓，給出的解釋是：“△x是一種無窮小量，無窮小量是一個數變成0之前的最後形態，它的絕對值比任何正數都小。因為△x不是0，所以可以做分母，並可以約掉；又因為△x的絕對值比任何正數都小，所以在2x0+△x中可以忽略不計，於是2x0+△x就等於2x0了。 無窮小量的神秘性在於：它如果是數，數在變成0之前還是數，哪有什麼“絕對值比任何正數都小”的最後形態？如果不是數，有何理由能夠像數一樣的運算。 兩種邏輯的交鋒（人的邏輯pk自然界的邏輯）： 上面的分析就算是第一種邏輯（人的邏輯）。我們得到了邏輯漏洞，如果要避免漏洞該怎么辦呢？很簡單老老實實的按照數學的規則，順其自然唄： 也就是這樣Δy/Δx=[(x0+△x)^2-x0^2]/△x =（2x0+△x)*（△x/△x） 的式子中令△x=0有Δy/Δx=（2x0+△x)*（△x/△x） =（2x0+0)*(0/0） =0/0（得到這么一種東西！） 事實上我們從形上學的角度，能夠預先知道Δy/Δx在△x=0時，確實是0/0（根本算都不用算！）問題是：0/0有用（實在用途）嗎？而且我們可以把0/0與2x02x0當做一回事嗎？即0/0=2x0了（一些人說是不定式，對嗎！） 導數說是研究函式的一種方法，可是我們函式知多少！也許你大約聽過函式的定義（集合上的），可是你知道哲學裡的函式嗎？事情是這樣的：我們說函式是描述運動現象的重要工具，可是運動有什麼重要特徵呢（有運動有什麼）！ 物質與運動的辯證關係： 物質是運動的物質，運動是物質的運動。運動是物質的根本屬性和存在方式，物質是運動的主體，物質和運動不可分割。離開物質談運動，或者離開運動談物質，都是錯誤的。 原來是這樣的，有運動必有物質！（自然界的邏輯——運動基本特徵）地球自轉、小貓逮老鼠、移動的衛星……都有物質（地球、貓、老鼠、衛星……）。物理學上為了方便突出物質的存在，於是就把這些物質統一起來（不考慮形狀、大小、性別、顏色、溫度……）叫做質點；用質量來肯定物質的存在，道理也簡單，一切物質皆有質量這樣就可以表示物質的存在了（自然界的邏輯）。 可是要突出物質的存在，只有質量一條路嗎？未必！ 物質與空間（絕對空間）的關係 定理I 一切物體總占據著空間且不受影響，並能進行空間交換（這也是自然界的邏輯）。 解釋：事實上這裡的空間指絕對空間，物體占據空間是無條件的，而物體本身又是不受空間影響的。因而物體可以從這個空間到達另一個空間，這便是空間交換。這裡不是指機械運動，而是說明物體能夠運動。 從定義1便可得出物質的幾個自然原理。 物體在絕對空間的原理：1、對空間的占據性。2、不受空間影響性（獨立性）。3、可（空間交換）運動性 談到空間就離不開物質，人們認識空間是通過物質而得以實現的。無論何種物質都會以某種形態出現在空間裡，物質是占據一定空間的存在（這種容納物質的空間叫做物質空間！）。所以，要突出物質的存在物質空間也是一條道路！當然，也可以不考慮物質的形狀、大小、性別、顏色、溫度…… 我們說函式是描述運動現象的理論：是指不關心物質的速度、加速度……只考慮運動空間形態——軌跡（曲線或者直線），大約是說了物質在空間中位置變化方式（機械運動）。由於，函式遇到了運動，而運動又拉著物質、物質又必然引出空間。所以，大約得到了這樣一種自然界的邏輯關係：運動是物質與空間的母體，物質空間是物質與純粹空間的集合。 純粹空間的存在表明空間的本質是空無（數學值相對實體物質定義為0），空間可獨立於物質、意識之外而存在，空間既不是物質，也不是意識。這就是空間的真實性、客觀性和非物質性。物質空間的存在以及與純粹空間的轉換，表明了空無的空間具有包容性。由於是相對定義，這樣描述物質的數學值只能是非0的數了。這樣一種自然界邏輯就有問題了——物質空間！物質空間物質部分>0，空間部分=0，於是搞笑的邏輯提問出現了：有沒有一種數即等於0，又大於0來描述物質空間呢？在人的保守邏輯里，這種邏輯顯然是不合理的（不存在這樣的數），錯誤的邏輯！然而，自然界偏偏就是有這種邏輯，而且是普遍的邏輯並且一定會在運動現象中出現！ 微積分如何抓住自然現象本質 數學不是單純的數字遊戲！是有套用價值的，體現在各類數學模型上。數學如果本身，允許這樣的解存在，那么就應該肯定其合理性（尊重自然界的抉擇）。 Δy/Δx=[(x0+△x)^2-x0^2]/△x =[x0^2+2x0△x+△x^2-x0^2]/△x =（2x0△x+△x^2）/△x =（2x0+△x)*（△x/△x） =2x0+△x 現在我們取極限（最終形態），令△x=0：此時有limΔy/Δx=2x0 在令括弧內△x=0（純粹空間的性質）時，堅持括弧外△x/△x=1（物質的性質）雖然，△x/△x=1的存在則否定了△x=0的假設，但這是基於運動基本特徵的必然結果！ 而另一方面，Δy/Δx=[(x0+△x)^2-x0^2]/△x =（2x0+△x)*（△x/△x） 的式子中令△x=0有Δy/Δx=（2x0+△x)*（△x/△x） =（2x0+0)*(0/0） =0/0（純粹空間的解） 也可以有，limΔy/Δx=0/0. 同一個表達式，居然有兩個數學解！似乎數學想告訴我們什麼，數也許可以是雙向的，就好像物理學中的：光一樣，具有波粒二象性。 微積分領域，我們遇到了許多所謂的駁論。微積分如果真是錯誤的推導，又何以得出正確的結論呢？Δx/Δx=1，應該理解為物質的比，而Δx=0，則應理解為純粹空間的特性。最後，得到的則是一個物質空間的解。也就是limΔy/Δx=2x0，而limΔy/Δx=0/0則是純粹空間的解。（（二元微積分學也適用） 所以，0/0≠2x0（二者的邏輯形式不同），但二者可以同時存在，或者獨立存在！無窮小量其實是自然界的辯證法，它不是一種特殊的數或者說不是數。貝克萊駁論在人的邏輯學裡是一條駁論，而在自然女神眼裡則談不上什麼駁論了。 為什麼導數（物質空間的解）是一條直線的斜率，而不是別的東西？因為，物質運動軌跡是物質在空間中的運動，不因為做曲線或是直線軌跡物質而變化（在任意的位置上，可以選擇直線運動也可以選擇曲線運動），割線越來越短（終點返回起點），物質性來源於割線自然最後的物質也必然是直線！（微觀的線段更合理些吧。） 不過函式是人類頭腦里的運動模型，並非自然界的實在運動，所以不是所有函式都有物質空間的解！函式與物質空間是既不成分也不必要條件，切忌！切忌！ 物理學認為：速度是描述物質運動快慢的物理量。我們所關心的是描述能有多高的精度，離自然界真相有多近！微積分中的△t是兩個不同的值，一個為0（靜止的空間），一個非0（運動的物質），於是極限的最後是一個運動物質空間的解（精度最高的解），當然0/0也是一個解（純粹空間的解，不用它）；瞬時速度翻譯過來是說：在任意某個純粹空間（畫龍點睛）里正在運動的物質——這是自然界普遍的現象。以後，還要談定積分學.
舉例
例如，若考慮極限且有f(c)=g(c)=0。若 f(x)等於g(x)，極限為一；若f(x)等於g(x)的兩倍，則極限為二。
更一般地，0/0型的極限可以通過洛必達法則求得。
