李的主要貢獻在以他的名字命名的李群(Lie Group)和李代數(Lie Algebra)方面。1870年,他從求解微分方程入手,依靠微分幾何方法和射影幾何方法建立起一種變換,將空間直線簇和球面一一對應。不久他發現,這種對應是連續的,能將微分方程的解表示出來並加以分類。由此李引入了一般的連續變換群概念,證明了一系列定理來發展他的理論。他把微分方程的自同構群作為工具,對二維群和三維群進行分類。在以後的多年中,李和他的助手繼續豐富完善連續群論學說,在1888年至1893年間,出版了3卷本的專著《變換群論》,後人為紀念他的貢獻,將連續群改稱「李群」。為研究李群,他還創立了所謂「李代數」──一種由無窮小變換構成的代數結構,並研究了二者之間的對應關係。李代數現已成為現代代數學的重要分支。此外,李在代數不變數理論、微分幾何學、分析基礎和函式論等方面也有建樹。李的工作在20世紀初由法國數學家嘉當(Élie Cartan)等加以發展。
![Marius Sophus Lie](/img/d/f63/wZwpmLzYzMxcDOwYTN3YTM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2UzL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)