基本介紹
預解核預解核(resolvent kernel)是用來給出積分方程解的一種積分表示，利用它可以研究積分方程的有關性質。設 是積分方程
預解核
預解核的連續核，則 由遞推公式
預解核
預解核
預解核 預解核產生的 稱為 的n次疊核，它滿足公式
預解核當
預解核時，級數
預解核
預解核在 上絕對且一致收斂，其和記為
預解核
預解核此級數稱為 諾伊曼級數， 稱為積分方程的 預解核。預解核是λ全平面上的半純函式，它在任一有界域內只可能有有限個極點，每個特徵值就是預解核的極點。利用預解核，積分方程的解可表示為
預解核 預解核
預解核這個結果在L 空間也同樣成立，即設 和 都是平方可積函式，且
預解核記
預解核和
預解核則近似解序列
預解核
預解核在 內絕對且一致收斂，其極限函式給出方程的惟一解 。
預解方程
方程
預解核
預解核稱為 第二種弗雷德霍姆(Fredholm)方程，其中 是常數。
定理 (預解方程)弗雷德霍姆方程(1)的預解核滿足方程
預解核及
預解核
預解核
預解核 預解核
預解核式(2) 與(3)稱為方程(1)的 預解方程。對給定的 如果存在滿足(2) 與(3)式的預解核 ，則稱 為核 的 正則值 。
預解核的構造
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核設 為X 上的一個核。一個函式 稱為V-上屬(V-dominant)，如果對所有 若 在 上成立，必有 若常數1是 上屬，則稱V滿足完全的極大值原理 。
預解核 預解核
預解核命題1 若 為X 上的子Markov 預解核而V為 的位勢核，那么每一個 上中位函式是V上屬。特別，V滿足完全的極大值原理。
預解核
預解核
預解核
預解核引理設 又設u為V上屬函式使得 且 那么 。
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核推論 對每個 線性運算元 是一個單映。若 且 則 。
預解核命題對每個 是一個代數同構。
預解核
預解核
預解核
預解核命題對每個 線性映射 是正的且 對所有
預解核
預解核 預解核命題 是X上的一個子Markov 預解核且V為 的位勢核。
預解核
預解核 預解核定理 設V為X上的有界核。那么X 上存在一個子Markov 預解核使得的充要條件是V滿足完全的極大值原理。這預解核是由V唯一確定的。
預解核
預解核定理設且則下述結論成立：
預解核
預解核
預解核1. 存在唯一的子Markov 預解核使得且是關於P的位勢核。
預解核2. 對每個嚴格的。.
預解核3.是嚴格的。
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核命題設用F表示這樣的全體構成的集：與存在使得那么F是增加的濾子且。
預解核 預解核命題設為關於p的位勢核。那末，對每個，下面命題等價：
預解核(1)
預解核
預解核
預解核(2) 存在使得且。
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核
預解核推論設且使得又設V為關於p的位勢核。那么，對每個存在中的序列使得增加收斂於且對每個為A 的緊子集 。
