非歐幾里得幾何
正文
指古希臘數學家歐幾里得所建立的幾何系統中的第五公設換成其否定命題所構成的新幾何系統。簡稱非歐幾何。它有兩種形式：如果用“過直線外一點至少可以引兩條直線平行於已知直線”這個命題代替第五公設，那末就得到羅巴切夫斯基幾何，又稱雙曲幾何；如果用“過直線外一點不存在平行於已知直線的直線”這個命題代替第五公設，那末就得到黎曼幾何，又稱橢圓幾何。歐幾里得幾何的第五公設是:若一直線與兩直線相交,且同側所交的兩內角之和小於兩直角，則兩直線無限延長後必相交於該側的一點。這個公設不象其他公設那樣簡明，歐幾里得本人也只是在證完第28個命題以後才套用它。建立 2000多年來，數學家們試圖從兩個方面消除第五公設，即用更加自明的公理代替它，或者把它作為一個定理，而從其他 9個公理或公設中推導出來。在尋找代替公設方面,1795年,J.普萊費爾給出了一個過直線外一點有而且只有一條直線平行於已知直線的命題。這個命題在數學史上常用來代替第五公設，並被稱為平行公理。在證明第五公設方面,直到19世紀初,許多數學家的努力並沒有達到預期的目的。但是，他們所做的工作卻為非歐幾何的創立作了準備。在建立非歐幾何的先驅者當中有G.薩開利、J.蘭伯特、F.K.施魏卡特和F.A.托里努斯等人。他們最終達到了這樣一些認識：平行公理是獨立的；可能存在與平行公理相矛盾的、邏輯上相容的新幾何學；虛半徑球面上的幾何具有以銳角假設為基礎的幾何性質。但是，他們都沒有否認歐幾里得幾何是描述物質空間的唯一的幾何學這一傳統觀點。
19世紀初，K.F.高斯、Н.И.羅巴切夫斯基、J.鮑耶3人在前人研究的基礎上,幾乎同時創立非歐幾何。高斯於1816年左右獲得這一成果，但他在生前未發表。鮑耶所寫的《絕對空間的科學》一文作為他父親著的《為好學青年的數學原理論著》一書的附錄，於1832～1833年發表。羅巴切夫斯基則於 1826年 2月 23日在俄國喀山大學物理數學系的會議上宣讀他關於平行線的論文，並於1829年在《喀山通報》雜誌上發表《幾何學原理》一文。這是數學史上第一篇公開發表的關於非歐幾何的文獻。羅巴切夫斯基畢生致力於捍衛和發展新理論的工作，直至雙目失明還口授著述《泛幾何學》一書。為了紀念羅巴切夫斯基對發展幾何學所做出的貢獻，人們常把這種新幾何學叫做羅巴切夫斯基幾何學。1854年，G.F.B.黎曼又建立了另一種形式的非歐幾何，即黎曼幾何。
非歐幾何創立後的一段時間內，由於沒有找到實際套用，而被稱為“虛擬的”幾何學。它只是到了1868年，由於E.貝特拉米在歐幾里得幾何中找到非歐幾何的模型，才使“虛擬”變成現實。後來，F.克萊因和J.H.彭加勒又找到另外一些解釋。最後，非歐幾何成了相對論的重要數學工具。
意義 非歐幾何的建立具有重要意義。在數學方面，它開闢了研究數學發展本身所提出的問題的方向，從此在數學中逐漸形成套用數學與純粹數學兩大領域。它推動了純粹數學的重要部分──數學基礎的研究。在數學史上，非歐幾何的無矛盾性被歸結為歐幾里得幾何的無矛盾性。但是，這種無矛盾性畢竟只是一種相對的無矛盾性，它並不能保證非歐幾何繼續推導下去不會出現矛盾。因此，數學家們又通過解析幾何、實數理論，把問題歸結為研究集合論的無矛盾性。這就從一個方面推動了數學基礎的研究。在哲學方面，非歐幾何的創立改變了人們對數學性質以及數學與物質世界關係的看法。19世紀以前，人們普遍認為，歐幾里得幾何學是描述物理空間的唯一的幾何學，以I.康德為代表的唯心主義哲學家進而聲稱，歐幾里得幾何學是先驗的綜合。然而，多種幾何系統的存在說明，幾何系統的真理性只具有相對的意義,它只有在一定的解釋下才有真假可言。同時,多種幾何系統的發現反映了物質空間的多樣性，說明空間的幾何性質依賴於空間的物理性質。因此，歐幾里得幾何並不是客觀世界要與之相適應的先驗綜合。歐幾里得幾何和非歐幾何這兩種幾何系統在邏輯上是相容的，而且都是真實地描述客觀世界，但它們在直觀上卻是互相矛盾的。這一事實說明了感性直觀的局限性，它使人們認識到自明性並不是數學真理性的標準。
