靜磁場唯一性定理

我們假設磁場空間為一封閉曲面S所包圍。如果S有限,則給定S面上的法向磁感應強度BSn件,以與高斯定理一致;如果S無限,則要求BS趨於0。其次,設磁介質各向同性,磁導率已知但允許出現非均勻性,以及在不同磁介質界面處出現間斷。

最後,設導體中傳導電流的分布已知。在這種情況下,靜磁場將被唯一確定,這就是靜磁場的唯一性定理。

下面用反證法來證明唯一性定理。設對給定的傳導電流分布、磁導率分布和S面上的邊界條件的靜磁場解不唯一,不妨設有兩個,其磁感應強度和磁場強度分別為B1、H1和B2、H2。令B=B2-B1,H=H2-H1,則B和H對應傳導電流為零、S面上BSn=0或BS趨於0。對於S面有限即BSn=0的情況,磁感應線或H線不可能起止於S面上,而只能在S內閉合。故可推斷S內必有傳導電流,而這與B對應零傳導電流的前提發生矛盾。於是,結論只能是S內處處有B=0,即B1=B2,唯一性定理得證。對於S面無限即BS趨於0的情況,磁感應線(或H線)或在有限空間內閉合,或起止於無窮遠處。前者不可能發生,理由同上。後者可用該H線和無窮遠共同組成一閉合迴路,沿該迴路的積分不等於0,同樣導致有傳導電流從中穿過的結論,與前提發生矛盾。因此,只可能B=0,B1=B2,即唯一性定理成立。

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