隨機矩陣:在數學中，隨機矩陣（也稱為機率矩陣、轉移矩陣、替代矩陣、或馬 -百科知識中文網

定義

隨機矩陣描述了在一個有限狀態空間 S上的馬爾可夫鏈。

如果在一個時間步長內從i到 j移動的機率為，隨機矩陣 P的第 i行，第 j 列元素由給出，例如，

由於從狀態 i 到下一狀態的機率總和必須是 1，這個矩陣是一個右隨機矩陣，於是

從i 到 j分兩步轉變的機率由然後由給定的P的平方矩陣的(i,j)號元素給出：

一般地，在由矩陣P給出的有限馬爾可夫鏈上從任何狀態轉移到另一個狀態的 k步轉移機率為P 。初始分布為一個行向量。平穩機率向量定義為不隨轉移矩陣的運用而變化的一個向量；也就是說，它定義為機率矩陣的左特徵向量，其特徵值為1：

佩龍一弗羅賓尼斯定理保證了每個隨機矩陣都具有這樣的向量，而特徵值的最大絕對值始終為1。在一般情況下，可能有多個這樣的向量。然而，對於具有嚴格正項的矩陣，該向量是唯一的，並可以觀察到對任意i我們都有以下極限而求出，

其中是行向量的第j 個元素。在其他方面，這表示處在狀態 j下的長期機率與初始狀態 i是獨立的。這兩種計算得到相同的穩定向量是遍歷定理的一種形式，在各種各樣的耗散動力系統廣泛成立：該系統隨著時間演變到定態。

直觀地看，隨機矩陣表示一個馬爾可夫鏈；對機率分布套用隨機矩陣，就是將原始分布的機率質量進行重新分布，同時保持其總質量。如果反覆套用此過程，分布就會收斂為馬爾可夫鏈的平穩分布。

設A、B為二個 n× n階轉移矩陣，則以下亦為轉移矩陣:AB、A、1/2(A+B)。

分類

有幾種不同的定義和類型隨機矩陣：

右隨機矩陣是實方陣，其中每一行求和為1。

左隨機矩陣是實方陣，其中每一列求和為1。

雙隨機矩陣是非負實數方陣，每個行和列求和均為1。

同理，可以定義 隨機向量（也稱為 機率向量）為元素為非負實數且和為1的向量。因此，右隨機矩陣的每一行（或左隨機矩陣的每一列）都是一個隨機向量。在英語數學文獻中的慣例是用機率的行向量和機率的右隨機矩陣，而不用列向量和左隨機矩陣，本文遵循此慣例。

套用

轉移矩陣可用以表示機率(或變化比率)，而矩陣相乘的結果可用以預測未來事件發生的機率。

範例

假設你有一個計時器和五個相鄰的格子排成一行，零時刻有一隻貓在第一個格子中，而一隻老鼠在第五個格子中。在計時器增加的時候貓和老鼠都會隨機跳到一個相鄰的格子中。例如，如果貓在第二個格子，老鼠在第四個，在計時器增加後，貓會出現在第一個格子且老鼠會出現在第五個格子的機率為1/4。如果貓在第一個格子而老鼠在第五個，那么計時器增加後，貓會出現在第二個格子且老鼠會出現在第四個的機率為1。當它們處於同一個格子的時候，貓會吃掉老鼠，遊戲結束。隨機變數 K給出了老鼠仍留在遊戲中的時間步長。

表示這個包含五種位置組合 (貓,鼠) 的狀態的遊戲的馬爾可夫鏈為：

•狀態 1：(1,3)

•狀態 2：(1,5)

•狀態 3：(2,4)

•狀態 4：(3,5)

•狀態 5：遊戲結束：(2,2), (3,3) & (4,4).

我們使用一個隨機矩陣來表示這個系統的轉移機率（這個矩陣中的行和列用上面提到的可能狀態來索引），

長期平均

無論初始狀態是什麼，貓最終都會抓到老鼠（機率為1），且極限為穩態 π= (0,0,0,0,1)。要計算隨機變數 Y 的長期平均或期望值。對每種狀態 S和時間 t，都有 Y·P(S=S,t=t) 的貢獻。生存與否可以視作一個二值變數，Y=1 代表生存狀態而 Y=0 代表終止狀態。Y=0 的狀態不對長期平均有貢獻。