等腰三角形悖論

等腰三角形悖論

等腰三角形悖論是關於等腰三角形的一條悖論,該悖論內容是所有三角形均為等腰三角形。這個結論肯定是錯誤的,因為很容易作出一個三條邊長分別為3,4,5的三角形。

等腰三角形悖論 等腰三角形悖論

等腰三角形悖論

命題:如果有一個三角形,那么該三角形為等腰三角形。

論證:在△ABC中,E是∠A的角平分線和BC垂直平分線的交點,EF,EG垂直於邊AB,AC的垂足是F,G.容易得到△AEF≌△AEG(AAS),△EFB≌△EGC(HL).所以有AF=AG,BF=CG,所以有AB=AC,三角形ABC是等腰三角形了!

這個結論肯定是錯誤的,因為很容易作出一個三條邊長分別為3,4,5的三角形,利用反證法即可推翻該悖論,它當然不是等腰三角形,而我們的結論卻說這樣一個三角形也一定是等腰的。那么,錯誤出在哪裡呢?

問題在於:E點的位置總在△ABC的外面(且在非等腰三角形中得到的兩條線段一個是加一個減,必定不相等)而不是它的裡面。可見正確作圖也可以幫助我們理解許多問題。

說明:在△ABC中,E是∠A的角平分線和BC垂直平分線的交點,由圖可知,無論是銳角、直角還是鈍角三角形,點E都不在△ABC內。

現在,這條悖論就不攻自破了。

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