盈不足術

盈不足術是中國古代解決盈虧類問題的一種算術方法。

盈不足術

成書於公元1世紀的中國古代數學名著《九章算術》 中，專辟一章名為“盈不足”。其中第一個問題是：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？”這是有關盈不足術的典型問題，可用通用的數學符號表示如下：設每人出α1，盈（或不足）b)1，每人出α2,盈(或不足)b2，其中在“盈”時，b1,b2>0,“不足”時,b1,b2<0。《九章算術》給出了這個問題的一般解法，即平均每人應出錢數x，人數p和物價q,可分別用下列公式計算：

， (1)

， (2)

。 (3)

在上述問題中，由公式(2)(3)可得人數 p=7，物價q=53。盈不足術是中國數學史上的一項傑出成就。用盈不足算法不僅能解決盈虧類問題，而且能解決一些更複雜的問題。
在11～13世紀一些阿拉伯數學家的著作中，也出現了盈不足術，並稱之為天秤術或契丹算法。當時阿拉伯人所說的“契丹”,即指中國。在歐洲中世紀,為了解決px-q=0這種類型的問題,有時用到所謂“雙設法”,即通過兩次假設以求未知數的方法。這種方法的大意是：設α1和α2是x的兩個假設值，b1和b2是差值，這時有：

， (4)

。 (5)

(4)-(5)，得，則。(4)·α2-(5)·α1，得，所以

，

於是

。

數學發展起來之前，雙設法是中世紀歐洲解決算術問題的一種主要方法，並導致了正負號(+，-)的創用。當時這種方法還有許多別的名稱，如雙假位法或迭借術，增損術或盈朒術等。13世紀著名義大利數學家L.斐波那契在《算盤書》中說:“契丹法,阿拉伯名詞。拉丁譯文當為迭借法，……亦可稱增損術。”明確指出了這種方法的淵源。因此,可以認為,正是中國古代的盈不足術經由阿拉伯傳入歐洲，在歐洲數學發展中起了重要的作用。明代之後，中國傳統數學逐漸失傳，西方數學陸續傳入中國。李之藻與利瑪竇共同編譯《同文算指》10卷(1613),載有雙設法，譯稱“迭借互征”。於是,誕生於中國的盈不足術，經過一段漫長而曲折的道路，又重新回到了中國。
在現代數學中，求解線性方程已無需用盈不足術。但為計算高次數字方程或函式方程ƒ(x)=0的實根近似值，有時還要用到公式,顯然此即公式(1)。在代數學和近似計算中,這種方法一般稱為弦截法或線性插值法。

配圖

相關連線