梯形法則
梯形法則是：
牛頓-柯特斯公式這等同將被積函式近似為直線函式，被積的部分近似為梯形。
要求得較準確的數值，可以將要求積的區間分成多個小區間，再個別估計，即：
牛頓-柯特斯公式可改寫成
牛頓-柯特斯公式
牛頓-柯特斯公式其中對
辛普森法則
辛普森法則（Simpson's rule，又稱 森遜法則、 辛普森法則）是：
牛頓-柯特斯公式同樣地，辛普森法則也有多重的版本：
牛頓-柯特斯公式
牛頓-柯特斯公式或寫成
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牛頓-柯特斯公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula）以Roger Cotes和艾薩克·牛頓命名。其內容是：
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牛頓-柯特斯公式其中 ， 是常數（由 的值決定）， 。
牛頓-柯特斯公式梯形法則和辛普森法則便是 的情況。
牛頓-柯特斯公式亦有不採用在邊界點來估計的版本，即取 。
原理
牛頓-柯特斯公式假設已知的值。
牛頓-柯特斯公式
牛頓-柯特斯公式以點進行插值，求得對應的拉格朗日多項式。
牛頓-柯特斯公式對該次的多項式求積。
牛頓-柯特斯公式 牛頓-柯特斯公式 牛頓-柯特斯公式該積分便可以作為的近似，而由於該拉格朗日多項式的係數都是常數（由決定其值），所以積函式的係數（即）都是常數。
缺點
對於次數較高的多項式而有很大誤差（龍格現象），不如高斯積分法。
