定義
凸函式f:I→R在點x0的次導數，是實數c使得：
，對於所有I內的x。我們可以證明，在點x0的次導數的集合是一個非空閉區間[a,b]，其中a和b是單側極限，
，它們一定存在，且滿足a≤b。所有次導數的集合[a,b]稱為函式f在x0的次微分。例子
考慮凸函式f(x)=|x|。在原點的次微分是區間[?1, 1]。x0<0時，次微分是單元素集合{-1}，而x0>0，則是單元素集合{1}。性質
- 凸函式f:I→R在x0可導，若且唯若次微分只由一個點組成，這個點就是函式在x0的導數。
- 點x0是凸函式f的最小值，若且唯若次微分中包含零，也就是說，在上面的圖中，我們可以作一條水平的“次切線”。這個性質是“可導函式在極小值的導數是零”的事實的推廣。
次梯度
次導數和次微分的概念可以推廣到多元函式。如果f:U→R是一個實變數凸函式，定義在歐幾里得空間R內的凸集，則該空間內的向量v稱為函式在點x0的次梯度，如果對於所有U內的x，都有：
，所有次梯度的集合稱為次微分，記為?f(x0)。次微分總是非空的凸緊集。