根值審斂法

根值審斂法是判別級數斂散性的一種方法，由法國數學家柯西首先發現。

陳述

根值審斂法

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設為一無窮級數，如果，（這裡也可以是複數，此時代表複數的模），則

根值審斂法

時級數絕對收斂；

根值審斂法

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(包括) 時級數發散；

根值審斂法

時級數可能收斂也可能發散。

證明

根值審斂法

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設，選取使得。對充分大的，時有，從而，。因為是無窮等比級數，所以收斂。由比較審斂法，知收斂。

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若，則有一收斂子數列，。於是有無限多個的項大於1。但若要收斂，則數列的極限必須為0。因此，發散。

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若，以p級數為例，因為，所以，又因為p級數當時收斂，時發散，所以可能收斂也可能發散。