朗伯級數

朗伯級數是一種特殊形式的級數，也譯作蘭伯特級數等，形如∑n-1(anx/(1-xⁿ))的函式項級數，其中an，x為實數，若∑an收斂，則當x≠±1時，該級數收斂；若∑an發散，則該級數的收斂域與冪級數∑anx相同，當|x|

基本介紹

定義1 定義級數

朗伯級數

為 朗伯(Lambert)級數 。

一方面，將(1)展成Fourier級數

朗伯級數

艾森斯坦(Eisenstein)級數E(z)的Fourier展開式為

朗伯級數

故

朗伯級數

朗伯級數

朗伯級數

對於歐拉函式以及麥比烏斯函式，對應有

朗伯級數

朗伯級數

它們分別表示

朗伯級數

另一方面，若給出了Fourier級數，則可將其改為朗伯級數

朗伯級數

這個變換是麥比烏斯逆變換

朗伯級數

相關介紹

研究朗伯級數是為了給自守形式的表示提供方便，拉馬努金計算了許多朗伯級數的值，其中較為著名的有如下幾個，稱為拉馬努金等式 。

拉馬努金等式

朗伯級數

朗伯級數

朗伯級數

下面給出等式（1）的證明。

由E(z)的變換公式有

朗伯級數

將z=i代入得

朗伯級數

所以E(i)=0，另一方面，根據Fourier展開式有

朗伯級數

朗伯級數

朗伯級數

從而（1）式得證 。