有限差方程

有限差方程

正文

含有未知函式的差分的條件等式，它是重要的一類函式方程，也稱有限差分方程。
有限差方程的一般形式是

, (1)

式中F是已知函式，ƒ(x)是未知函式，Δ是差分運算元（見有限差演算）。利用Δ與移位運算元E的關係式Δ＝E-I，其中I是不變運算元，(1)可化成

。 (2)

如果(2)既明顯地含有ƒ(x+nh),又含有ƒ(x)就稱(1)或(2)為n階有限差方程。
滿足有限差方程的函式稱為它的解,n階有限差方程的含有 n個任意常數的解稱為通解。通解中的任意常數被確定後，即可獲得一個特解。
線性有限差方程解的結構　稱有限差方程

, 　(3)

為n階線性有限差方程。如果Q(x)呏0，則稱該方程為齊次方程；反之，則稱為非齊次方程。
方程(3)的解具有以下性質：① 如果函式ƒ1(x)，ƒ2(x),…,ƒn(x)是相應於方程(1)的齊次方程的線性無關解,則相應的齊次方程的通解為,其中C1，C2,…,Cn為任意常數。②方程(3)的通解可表為它的一個特解 ƒ*(x)與相應的齊次方程的通解之和，即,這兩條性質就完全確定了線性有限差方程解的結構。
常係數線性有限差方程 如果方程(3)中的αk(x)(k=0,1,…,n)都為常數，且h=1，則方程

(4)

就是常係數線性有限差方程。
求得方程(4)的通解,可根據線性有限差方程解的結構特點，由以下兩個步驟來完成。第一步,求相應於(4)的齊次方程

的通解。設ƒ(x)=λx，代入上述方程，得到

，

稱它為相應齊次方程的特徵方程，其根稱為特徵根。如果所有的特徵根λ1,λ2,…,λn都是實的單根，則齊次方程的通解為:如果特徵根中有實的重根出現，則齊次方程的通解為

，

式中sk為特徵根λk的重數, 且s1+s2+…+sp=n;Cjk(j=1,2,…，sk；k=1，2，…,p)為任意常數。第二步, 求非齊次方程(4)的一個特解。當右端函式 Q(x)具有某些特殊形式時，利用待定係數法可以直接求得特解，例如Q(x)是 k次多項式,且 1是相應的特徵方程的s重根，則設,代入方程(4),兩邊對比係數,可求出待定係數A0,A1,…,Ak,從而求得方程(4)的一個特解ƒ*(x)。又如Q(x)=p(x)b)x,其中p(x)為k次多項式,k為特徵方程的s重根,則設, 代入方程(4),求出待定係數，即得方程(4)的一個特解。將兩步所求得的結果相加,即可得到方程(4)的通解。
如果特徵根中出現復根，則對每一對共軛復根，利用歐拉公式，分別取實部和虛部作為線性無關解，參照上述方法，也可得到實的通解
除去上述的解法，還可利用發生函式、符號運算元以及變易常數等方法去求方程(4)的通解。
舉例　求二階常係數線性有限差方程

,

滿足條件ƒ(1)=ƒ(2)=1的方程解ƒ(n)，其中變數n取自然數。
相應的特徵方程為 λ2-λ-1=0。由此解出特徵根為。從而通解為

，

由條件 ƒ(1)=ƒ(2)=1可求得。故解為

。

這就是斐波那契數列的通項表達式。
參考書目
　L.M.Milne-Thomson,The Calculus of Finite Differences, Macmillan, London,1951.

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