數學模型方法
正文
對過程進行研究，以得到表示過程各有關參數與變數之間的關係的數學表達式的方法，是化學工程研究方法之一。一般來說，對過程進行如實的數學描述，也是一種數學模型方法，但其用途是很有限的，特別是對化學工程，因為過程比較複雜，往往難以進行如實的數學描述。因此，研究者設法對複雜過程作必要的、合理的簡化，使之易於數學描述。簡化了的過程稱為實際過程的物理模型，由此得到過程各有關參數與變數之間關係的數學表達式，稱為過程的數學模型，簡稱模型。通過實驗，檢驗和修正模型並確定模型參數。這是現代廣為套用的數學模型方法。另一種研究方法，不從實際過程的分析、概括和簡化著手，完全從實際測得的數據出發，按誤差最小的原則，歸納出該過程各有關參數和變數間關係的數學表達式，這種方法有時也被稱為數學模型方法，這是對數學模型方法的另一種理解。因此，習慣上將前一種方法得到的數學模型稱為機理模型，將後一種方法獲得的數學模型稱為經驗模型，以資區別。
數學模型方法在化學工程中的廣泛套用，始於20世紀50年代，其原因是：①化學反應工程研究的需要。化學反應工程研究化學反應與傳遞過程（物理過程）之間的互動影響。但是，理論可以證明，化學過程與物理過程並存時，不可能同時滿足化學相似和物理相似條件。因而，化學工程中傳統的因次分析和相似論方法不再適用，研究者必須尋找新的研究方法。②計算機的普及使數學模型方法所需的數值計算成為可能。
數學模型方法對化學反應工程學科的建立起過重要的作用，目前已廣泛套用於化學工程各個領域。
模型的建立 數學模型方法的關鍵是對過程作出合理的簡化。例如，固定床反應器中，流體通過亂堆的催化劑顆粒層時，對各個顆粒作繞流流動，不斷地分流和匯合，造成一定程度的返混，影響反應結果。研究返混現象，要對複雜的幾何邊界內發生的各種隨機的分流和匯合，作出如實的數學描述極為困難。然而研究者發現，這種返混現象在一定範圍內可以近似地以斐克擴散定律（見分子擴散）描述。因此，在考察返混時，流體流經亂堆顆粒層的流動，可以簡化為在均勻的流動上，疊加了一個虛擬的擴散流。此返混模型稱為分散模型（見流動模型）。用分散模型描述返混，則等溫下固定床反應器內的反應過程，可經物料衡算用下式表示：
上例指出，數學模型方法中所作的簡化是某種概括。顆粒特性、流體性質和流動狀態、分流和匯合等均未出現於數學模型中，而被概括在分散係數中。這種概括建立在等效性的基礎上，即實際的返混現象等效於某個擴散現象。
模型檢驗和參數估值 數學模型建立以後，應進行專門的實驗，以檢驗所作簡化的合理性，並確定模型參數值。最早使用的方法是線性化法：將模型的數學表達式作某些數學變換，使之線性化。再由實驗結果是否符合線性來檢驗模型的正確性，從斜率和截距值求取模型參數值。這種方法適用於模型參數和變數的數目較少的情況。變數較多，特別是模型參數較多時，則常採用最小二乘估計法、極大似然估計法和貝葉斯法等統計方法。這些方法都可編成程式，在計算機上實施。
主要優點 數學模型方法是一種半理論、半經驗的方法，與純經驗的實驗研究方法相比較，它有兩個優點：①促使並幫助研究過程的實質。由於反映了過程較為本質的規律，研究結果較為可靠。②實驗工作量可大幅度地減少。實驗的任務不再是全面測定各變數間的關係,而只是檢驗模型和測定模型參數。但是，當過程過於複雜，一時尚未能找到有效簡化途徑時，數學模型方法就難以奏效。
