強力數

,ψ(n ,有ψ(n m(n

定義

設 n 是大於1的自然數,d1,d2,。。,dm 是其所有正約數,用ψ(n)=1/d1+1/d2+....+1/dm 表示其所有正約數的倒數的和。如果對於任意小於 n 的自然數k ,ψ(n)>ψ(k) 恆成立,則稱 n 為強力數。最初的幾個強力數為 2,4,6,12,。。。

定理

強力數有無窮多個。
定理的證明:(反證法)假如強力數只有有限個 n1,n2,。。。,nm ,且 n1<n2<...<nm,則由定義,對任意正整數 n ,有ψ(n)<=ψ(nm) 。考察自然數 k=nm!=nm(nm-1)(nm-2)...*2*1 ,顯然有 ψ(k)>1+1/2+1/3+...+1/nm>ψ(nm) ,與 對任意自然數n,ψ(n)<=ψ(nm) 矛盾。因此,強力數有無數多個。

猜想

設 n1,n2,。。。,nm,。。。是所有的強力數,則無窮級數 ∑(m=1,∞) 1/nm 發散。

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