希爾伯特轉換

在數學與信號處理的領域中，一個實數值函式的希爾伯特變換(Hilbert transform)——在此標示為——是將信號與做卷積，以得到。因此，希爾伯特變換結果可以被解讀為輸入是的線性非時變系統(linear time invariant system)的輸出，而此一系統的脈衝回響為。這是一項有用的數學，用在描述一個以實數值載波做調製的信號之複數包絡(complex envelope)，出現在通訊理論（套用方面的詳述請見下文。）
希爾伯特變換是以著名數學家大衛·希爾伯特(David Hilbert)來命名。

定義

希爾伯特變換定義如下：
其中
並考慮此積分為柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及等處的奇點。
另外要指出的是：
若，則可被定義，且屬於；其中<IMG class=tex alt=" 1<p。

頻率回響

希爾伯特變換之頻率回響由傅立葉變換給出：
, 其中
是傅立葉變換， i (有時寫作j )是虛數單位， 是角頻率，以及 0,\\&#10;\ \ 0, & \mbox{for } \omega = 0,\\&#10;-1, & \mbox{for } \omega 並常被稱作signum函式。
既然：
, 希爾伯特變換會將負頻率成分偏移+90°，而正頻率成分偏移&#8722;90°。
我們也注意到：。因此將上面方程式乘上，可得到： 從中，可以看出反（逆）希爾伯特變換