基本介紹
設V是域P上n維線性空間，且ε，ε，…，ε與ε′，ε′，…，ε′皆是V的基，於是有：
坐標變換公式ε′= aε(i=1，2，…，n).
以ε′關於基ε，ε，…，ε的坐標(a，a，…，a)為第i列構成的n階矩陣(a)稱為由基ε，ε，…，ε到基ε′，ε′，…，ε′的過渡矩陣，若α∈V關於基ε，ε，…，ε與基ε′，ε′，…，ε′的坐標分別為(x，x，…，x)與(x′，x′，…，x′)，則其兩坐標間的關係，可由過渡矩陣(a)表示為
坐標變換公式上式稱為坐標變換公式 。
坐標變換公式的證明
坐標變換公式
坐標變換公式設和是線性空間V中的兩個基，並且
坐標變換公式式(1)可表示為
坐標變換公式即
坐標變換公式其中
坐標變換公式 坐標變換公式 坐標變換公式（（2）式中A應為A的轉置）式(1)或式(2)稱為基變換公式，矩陣 A稱為由基到基的過渡矩陣。
坐標變換公式 坐標變換公式 坐標變換公式注意：式(1)中各式的係數實際上是基向量在基下的坐標 。
坐標變換公式及其證明：
坐標變換公式 坐標變換公式
坐標變換公式
坐標變換公式定理1設V中一向量ξ在兩個基和下的坐標分別是和，若兩個基滿足關係式(2) ，則有坐標變換公式：
坐標變換公式
坐標變換公式或
坐標變換公式證明：因為
坐標變換公式
坐標變換公式故由坐標的唯一性,得
坐標變換公式 坐標變換公式或
坐標變換公式反之，設是線性空間V的一個基，A是n階可逆矩陣，使得
坐標變換公式 坐標變換公式成立，可以證明:是V的n個線性無關的向量,從而也是V的一個基 。
坐標變換公式
坐標變換公式證明若數使，
即
坐標變換公式 坐標變換公式因為線性無關，故必有
坐標變換公式
坐標變換公式 坐標變換公式但 A可逆，即| A|≠0，齊次線性方程組 AX= 0只有零解，必有，線性無關 。
