圓周角定理

圓周角定理

圓周角定理指的是同一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理。該定理反映的是圓周角與圓心角的關係。

基本信息

定理內容

圓周角的度數等於它所對弧上的圓心角度數的一半。

定理證明

已知在⊙O中,∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC,求證:∠BOC=2∠BAC.

證明:

情況1:

如圖1,當圓心O在∠BAC的一邊上時,即A、O、B在同一直線上時:

圖1 圖1

∵OA、OC是半徑

解:∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO(等邊對等角)

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情況2:

如圖2,,當圓心O在∠BAC的內部時:

圖2 圖2

連線AO,並延長AO交⊙O於D∵OA、OB、OC是半徑

解:∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等邊對等角)

∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情況3:

圖3 圖3

如圖3,當圓心O在∠BAC的外部時:連線AO,並延長AO交⊙O於D連線OA,OB。

解:∵OA、OB、OC、是半徑

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO(等腰三角形底角相等),∠CAD=∠ACO(OA=OC)

∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圓心角等於180度的情況呢?

看情況1的圖,圓心角∠AOB=180度,圓周角是∠ACB,

顯然因為∠OCA=∠OAC=∠BOC/2

∠OCB=∠OBC=∠AOC/2

所以∠OCA+∠OCB=(∠BOC+∠AOC)/2=90度

所以2∠ACB=∠AOC

圓心角大於180度的情況呢?

看情況3的圖,圓心角是(360度-∠AOB),圓周角是∠ACB,

只要延長AO交園於點D,由圓心角等於180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度

根據情況3同理可證:∠BOC=2∠BAC=2∠BDC

根據情況1和情況3同理可證:∠AOC=2∠ADC=2∠ABC

所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度

即∠ACB=180度-∠ADB

由情況2可知:∠AOB=2∠ADB

所以360度-∠AOB=2(180度-∠ADB)=2∠ACB

定理推論

圓周角圖 圓周角圖

1.一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半;

2.圓周角的度數等於它所對的弧度數的一半;

3.在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等。

4.半圓(直徑)所對的圓周角是直角。

5.90°的圓周角所對的弦是直徑。

6.等弧對相等的圓周角。(因為相等的弧只有一個圓心角)

注意:在圓中,同一條弦所對的圓周角有無數個。

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