概念介紹
和樂群(holonomy group)亦稱完整群。反映一聯絡與平坦聯絡之間差別的一個群。在主纖維叢上給定一個聯絡後，可將纖維沿底空間M中的曲線平行移動。設γ是一條以x∈M為基點的閉環路，從x點出發沿γ繞行一周后，位於x處的纖維中的另一點v′，一般地它不再是原來的v，記v′=v·g，其中g是結構群G中的元素。當γ取遍所有以x為基點的閉環路後，這些相應的元素g的全體就構成了G的一個子群H，稱為主纖維叢上該聯絡的和樂群。若γ限於以x為基點的同倫於零的閉環路，則相應的元素g的全體就構成了G的另一個子群H，稱為該聯絡的齊次和樂群。這兩種和樂群與該聯絡的曲率有極密切的關係。使和樂群為G中恆等元的聯絡即是平坦聯絡。使齊次和樂群為G中恆等元的聯絡即是局部平坦聯絡。伯熱(Berger，M.)於1955年對黎曼流形的和樂群作出了詳盡的分類。
聯絡
為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場）的變化，導數的概念被推廣為所謂的“聯絡”。 有了聯絡，人們就可以研究大範圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。
嚴格地，定義 D( X） Y： TM× TM→ TM為聯絡，如果：
（1） D( fX+ gZ) Y= fD( X) Y+ gD( Z) Y
(2) D( X)( fY+ gZ)= X( f) Y+ fD( X) Y+ X( g) Z+ gD( X) Z
稱 D為一個無撓聯絡，如果
(3) D( X) Y- D( Y) X=[ X, Y]，[,]為泊松括弧。
稱一個無撓聯絡為列維-奇維塔聯絡，如果
（4） X( Y, Z)=( D( X) Y, Z)+( Y, D( X) Z)，（，）為黎曼度量。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
同倫的概念
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：
H(x，0)=f(x)
H(x，1)=g(x) x∈X
則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h}，h連續地依賴於t且h=f，h=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id且f·g≃id。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x∈X，使得常值映射C：X→X。x→x與映射id同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id≃0，即恆同映射id零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
設A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續映射r：X→A，使得r|=id(或r·i=id)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·rid：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強形變收縮，A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內射i：A→X是同倫等價。
兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。
倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫，故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。
和樂群
和樂群設A為空間X的子空間，序偶 (X，A) 稱為空間偶，連續映射f： X→Y，把A映到Y的子空間B內，則記f：(X，A)→(Y，B)。若有連續映射f：(X，A)→(Y，B)，g：(Y，B)→(X，A)使得g·f=id，f·g=idY，則f為空間偶的同胚。同樣有偶的同倫的概念。若有偶的同倫：fg：(X，A)→(Y，B)滿足：對任意t∈I，x∈A有H(x，t)=f(x)=g(x)，稱f和g相對於A同倫，記作：或。 當A為空集∅時，相對同倫就是一般同倫。設A⊂X，則A是X的強形變收縮核的充要條件是：存在收縮映射(保核收縮)r：X→A使得ir≃id：X→XrelA，其中i：A→X為內射。
