卡萊曼不等式

卡萊曼不等式(Carleman inequality)是關於項為乘積冪的級數的估計式及其推廣，這個不等式由卡萊曼(T.Carleman)於1923年發表 。

基本介紹

卡萊曼不等式

卡萊曼(Carleman)不等式 (1)如果是任意非負數列，那么

卡萊曼不等式

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(2)若是任意正數列，而且級數收斂，則上式是嚴格不等式，即

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並且右邊的常數e不能用更小的正數代替 。

此不等式是T.Carleman於1923年得到的。

卡萊曼不等式的證明

卡萊曼不等式

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Carleman不等式：設為正數，記的幾何平均值為G(i=1，2，…，，n)，則

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證明

卡萊曼不等式

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事實上，若在哈代-蘭道不等式(Hardy-Landau不等式)中用代替，則得

卡萊曼不等式

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令，則因

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所以立刻得到不等式(1) 。

另外，不等式(1)也可用Redheffer不等式得到：

卡萊曼不等式

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令，這裡，則

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因為，所以可得出不等式(1) 。