簡介
在數學中,卡爾松測度是對維度歐幾里德空間Rn的子集的一種度量。 大致來說,域Ω上的Carleson測量是與Ω邊界上的表面測量值相比,在Ω邊界處不消失的度量。
Carleson措施在諧波分析和偏微分方程理論中有許多套用,例如在Dirichlet問題與“粗糙”邊界的解決方案中。 Carleson條件與泊松運算符的有界性密切相關。
Carleson測度以瑞典數學家Lennart Carleson命名。Carleson在20世紀60年代早期採用L. Carleson來描述開放單位盤中有界分析函式的代數中的內插序列,並給出了電暈問題的解決方案。
![卡爾松測度](/img/5/2d5/nBnauM3X4gTO4cTN4kTN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![卡爾松測度](/img/7/c99/nBnauM3X3gDM3MDM4MDMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzAzLzMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
這些措施可以用以下方式定義:讓我們對單位盤 做一個肯定的測量。 那么如果存在一個常數 ,那就被稱為Carleson度量,這樣對於每個部分來說都是如此:
![卡爾松測度](/img/0/6c9/nBnauM3X1UTO0MDNyMTM5gTM2UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzEzL2gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
Carleson測度在複雜分析、諧波分析、BMO理論、積分運算符理論和等式理論中起著重要作用。
定義
令n∈N,令Ω⊂Rn為非空邊界∂Ω的開放(即可測量)集合。 令μ為Ω上的Borel度量,令σ表示∂Ω上的表面度量。 如果存在常數C> 0,則測量μ被認為是Carleson度量,使得對於每個點p∈∂Ω並且每個半徑r> 0,
![卡爾松測度](/img/0/25b/nBnauM3XwMzN2UDM3cTM5gTM2UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3EzL3QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
其中,
![卡爾松測度](/img/a/0ee/nBnauM3XyYjMyATOwgTO4gTM2UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4kzLzgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
表示半徑r的開放球約p。
泊松運算元與卡爾松定理
令D表示配備有一些Borel測量μ的複平面C中的單位盤。 對於1≤p<+∞,令Hp(∂D)表示D的邊界上的Hardy空間,並且Lp(D,μ)表示D上的Lp空間相對於度量μ。 定義泊松運算元:
![卡爾松測度](/img/0/b86/nBnauM3X1UzM0ITMyYjM4gTM2UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2IzLwgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
那么若且唯若測量μ是Carleson時,P是有界線性運算元。
其他相關概念
對於Carleson條件,常數C> 0的集合的最小值:
![卡爾松測度](/img/2/4f5/nBnauM3XzYDN4IzM1IzM3gTM2UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyMzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
持有被稱為測量μ的Carleson範數。
如果C(R)被定義為受限Carleson條件的所有常數C> 0的集合的最小值:
![卡爾松測度](/img/b/0ed/nBnauM3XzgTM3ADM3gzN2gTM2UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czL2gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
如果C(R)→0為R→0,那么測量μ被認為滿足消失的Carleson條件。