力學量的可能值和期待值

力學量的可能值和期待值

正文

在量子力學中，力學量F用作用於波函式上的算符弲表示。在數學上，對於一個算符，滿足

的函式 ui(r)稱為弲的本徵函式，式中Fi是與r無關的數,稱為本徵值。如果ui(r)描寫微觀粒子的狀態,則它必須滿足單值、連續和有限的標準條件。在這種限制之下，上式中的本徵值可以取一系列分立值，或取一定範圍內的連續數值。
在測量力學量F時,觀察到的只能是它的本徵值。若一個力學量的本徵值具有分立譜，我們說這個力學量是量子化的。
量子力學中假定力學量的全部本徵函式組成一個完全系；這意思是說：描寫體系的任一狀態的波函式ψ都可以用力學量的本徵函式ui展開：

在ψ和ui都是歸一化的情況下，上式中的展開係數сi具有如下的物理意義：在ψ態中測量力學量時,得到結果為Fi的幾率是|сi|2。
因此，若微觀粒子的定態波函式是某力學量算符的本徵函式ui(r),則在這一狀態中,力學量F取確定值Fi。
在ψ態中對力學量進行多次測量,把所得結果加以平均，就得出力學量在ψ態中的期待值，以〈F〉表示：

上式稱為力學量的期待值公式。如果ψ不是歸一化的，那么期待值公式應寫為

配圖

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