共軛因式

共軛因式

設S是含有根式的已知表達式,若存在一個不恆等於零的表達式M,使乘積SM不含根式,則稱M為S的共軛因式(conjugate factors),S可以看作是M的共軛因式。一個式子的共軛因式不是唯一的,事實上,若M是S的共軛因式,則SM(n是自然數)也是S的共軛因式 。

基本介紹

共軛因式 共軛因式
共軛因式 共軛因式
共軛因式 共軛因式

共軛因式亦稱有理化因式、有理化因子,指乘積為有理式的兩個無理式。若兩個含有根式的代數式S與M的乘積SM是有理式,則它們互稱共軛因式。例如,式子 (a>0,b>0)的共軛因式是 ,因為 。一個式子的共軛因式乘以一個有理式仍是這個式子的共軛因式,所以,一個式子的共軛因式不是惟一的 。

求共軛因式的方法

常用的求共軛因式的方法如下 :

共軛因式 共軛因式
共軛因式 共軛因式

1.對於 ,可取 作為共軛因式。

共軛因式 共軛因式

2.對於 ,可取

共軛因式 共軛因式

作為共軛因式。

共軛因式 共軛因式

3.對於 ,可取

共軛因式 共軛因式

作為共軛因式。

4.有時對共軛因式的尋求要逐步完成 。

例如對於

共軛因式 共軛因式

則應取

共軛因式 共軛因式

可得

共軛因式 共軛因式

可再取

共軛因式 共軛因式
共軛因式 共軛因式

於是 的共軛因式為

共軛因式 共軛因式

5.待定係數法。

共軛因式 共軛因式

例如,求 的共軛因式,可取

共軛因式 共軛因式

係數b(i=0,1,2,…,n-1)由S·M為有理式這一條件確定。

6.對於給定的含有根式的代數式,如果可以看成是某一根式的多項式P(x),則可利用互質多項式P(x)和Q(x)的性質,輾轉相除,可得多項式M(x)與N(x),使得M(x)P(x)+N(x)Q(x)=1,則M(x)即為P(x)的共軛因式。

7.對於表達式

共軛因式 共軛因式

(此處p, q, …, r是小於n的自然數), 可取

共軛因式 共軛因式

求共軛因式常用於根式運算的使分母(或分子)有理化的過程中。中國的《九章算術》“少廣”章中敘述有:“若母不可開者,又以母乘定實,乃開之,訖,令如母而一。”譯為現代算術,即

共軛因式 共軛因式

足見其已有了有理化分母的思想,秦九韶在所著《數書九章》中,也運用了有理化方法 。

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