舉例
三段論推理所有的偶蹄目動物都是脊椎動物，牛是偶蹄目動物；所以牛是脊椎動物。
上面的三段論推理，“偶蹄目動物”是連線大小前提的中項；“脊椎動物”是出現在大前提中又在結論中做謂項的“大項”；“牛”是出現在小前提中又在結論中做主項的“小項”。 習慣上,用“P”表示“大項”，用“M”表示“中項”，用“S”表示“小項”。
省略式
三段論推理從思維過程來看，任何三段論都必須具有大、小前提和結論，缺少任何一部分就無法構成三段論推理。但在具體的語言表述中，無論是說話還是寫文章，常常把三段論中的某些部分省去不說。省去不說的部分或是大前提，或是小前提，或是結論。
(1)省略大前提
①你是經濟學院的學生，你應當學好經濟理論。
②改革是新事物，當然免不了要遇到前進中的困難。
例①省略了大前提“凡是經濟學院的學生都應該學好經濟理論”。例②省略了大前提：“凡是新事物都免不了遇到前進中的困難”。
(2)省略小前提
①企業都應該提高經濟效益，國營企業也不例外。
②這部連續劇不是優秀作品，因為優秀作品是思想性與藝術性相結合的作品。
例①省略了小前提“國營企業也是企業”。恢復其完整式是：“企業都應該提高經濟效益, 國營企業也是企業,所以,國營企業應該提高經濟效益”。例②省略的小前提是“這部連續劇不是思想性與藝術性相結合的作品”。恢復其完整式是“優秀作品都是思想性與藝術性相結合的作品，這部連續劇不是思想性與藝術性相結合的作品，所以這部連續劇不是優秀作品”。
(3)省略了結論
①業餘辦學形式是民眾所歡迎的，函授教育就是一種業餘辦學形式。
②所有的人都免不了犯錯誤，你也是人嘛。
例①省略的結論是“函授教育形式是民眾所歡迎的”。例②省略的結論是“你也免不了犯錯誤”。
公理
三段論推理公理的古典涵義要求公理具有明顯的直觀真理性，能夠不證自明，公理內部前後要有一致性。公理的現代涵義不要求公理具有明顯的直觀真理性，也不要求公理能夠不證自明，它要求內部有嚴密的一致性，無矛盾性。
三段論公理是：如果一類對象的全部都是什麼，那么，它的小類，即部分對象也必然是什麼；如果一類對象的全部都不是什麼，那么，它的小類，即部分對象也必然不是什麼。這就是說，如果對某類對象的全部都有所斷定，那么，對它的部分對象也就有所斷定。
相關概念
三段論的格
按照大項、小項、中項在三段論中不同的位置分布，三段論可分為以下四個格：
| | 第一格 | 第二格 | 第三格 | 第四格 |
| 大前提 | M——P | P——M | M——P | P——M |
| 小前提 | S——M | S——M | M——S | M——S |
| 結論 | S——P | S——P | S——P | S——P |
可以看出，在這四個格中，結論中主項和謂項的位置是固定的。這些格的主要區別是前提中中項的位置不同。
三段論的式
同一格的三段論也有一定的差異，即它們的前提和結論中所涉及的直言命題的量詞（全稱、特稱）和質（肯定、否定）是不同的，也就是說它們的“式”是不同的。
例如：
1：所有的偶蹄目動物都是脊椎動物，牛是偶蹄目動物；所以牛都是脊椎動物。（第一格AAA式）
2：所有的偶蹄目動物都不是昆蟲，牛是偶蹄目動物；所以牛都不是昆蟲。（第一格EAE式）
3：所有商品都是用來交換的，所有封建地租都不是用來交換的；所以所有封建地租都不是商品。（第二格AEE式）
4：鴕鳥不會飛，鴕鳥是鳥；所以一些鳥不會飛。（第三格EAO式）
5：有些不會飛的動物是鴕鳥，鴕鳥是鳥；所以有的鳥是不會飛的動物。（第四格IAI式）
三段論的可能式和有效式：
在三段論的每格中，A、E、I、O四種判斷都可以分別作為大、小前提和結論，其組合數目是：4X4X4=64。因此，就其可能性而言，每格有64個式。三段論共有四個格，因此，三段論的可能式共有64X4=256個。
三段論的可能式並非都是有效的。事實上，三段訟可能式中的大部分是無效的。
對於三段論的所有可能式，都可以依據一般規則或各格的具體規則，判定它是否有效。經過篩選，三段論所有的可能式中，共有如下24個有效式：
| 第一格 | 第二格 | 第三格 | 第四格 |
| AAA | AEE | AAI | AAI |
| EAE | EAE | EAO | EAO |
| AII | AOO | AII | AEE |
| EIO | EIO | EIO | EIO |
| （AAI） | （AEO） | IAI | IAI |
| （EAO） | （EAO） | OAO | （AEO） |
一個三段論是有效的，若且唯若它是這個24個式中的一個。據此，可以難驗證一個三段論是否正確。
上述24個有效式中，有5個帶括弧，稱為弱式。所謂弱式，是指本來可以得出全稱的結論，但卻只得出了特稱的結論。可以不把弱式看成是獨立的有效式。
這樣，如果不算5個弱式，三段論共有19個有效式。
三段論的各有效式，不必要一個個地熟記。判定三段論是否有效，依據三段論的一般規則及各格的具體規則就可以了。
三段論的省略式
三段論包括大前提、小前提、結論三個部分。從邏輯結構上說，這三部分缺一不可。但是，三段論在日常語言的表達中，能常省略其中的某個部分。
在日常語言的表達中省略了大前提或者小前提或者結論的三段論，稱為三段論的省略式，也可以稱為省略三段論。
省略三段論所省略的，只是語言表達，而不是它的邏輯結構。也就是說，省略三段論所省略的部分，在邏輯結構上，仍是它的必要部分，只不過沒有把它在語言上表達出來而已。
省略三段論有三種形式：
第一， 省略大前提。省略的大前提往往是得到了普遍承認的一般性原理。
第二， 省略小前提。省略的小前提往往是不言而喻的事實。
第三， 省略結論。省略的結論，因為其顯而易見，不說出來往往比說出來更有力。
三段論省略式的恢復
三段論省略式的必要性和長處，已如上述。
但三段論省略式也有弱點。一些前提虛假或推理錯誤的三段論，經省略後，很可能使這些毛病掩蓋起來，不易察覺。
因此，在判定省略三段論的有效性時，就需要先把省略部分補充進去，把省略三段論恢復成完整形式。
省略三段論的恢復，有以下步驟：
首先，確定結論是否被省略。在結論前，通常以“因此”、“所以”這樣的聯詞。根據是否有這樣的聯詞，容易斷定結論是否被省略。
其次，如果結論沒有被省略，那么，根據結論就可以確定大、小項。如果大項沒有在省略式的前提中出現，則說明省略的是大前提。如果小項沒有在前提中出現，則說是省略的是小前提。
最後，把省略的部分補充進去，並進行適當的整理，就得到了省略三段論的完整形式。
在恢復省略三段論時，要注意兩點：
第一， 不違反省略三段論的原意。一般地說，省略三段論的被省略部分的內容，是顯而易見的，正因為如此，它才可以省略。要按照省略三段論這種明顯的原意進行恢復。不能為了避免省略三段論恢復後出現形式錯誤而違反它的原意進行恢復。
第二， 如果對省略三段論原意的理解存在岐義，那么，在恢復時所補充的判斷，應該力求是真實的。如果不違背原意去補充一個真實的判斷作為前提或結論，卻補充了一個虛假的判斷，這就答去了恢復省略三段論的意義。
三段論的有效性
所謂推理的有效性，就是通過推理，從真的前提必然只能得到真的結論，如果一個推理形式能從真前提推出假結論，那么這個推理形式是無效的。三段論推理也是如此。
傳統邏輯中，三段論的256個式中有如下24個有效式，其它的式都是無效的。
第一格：AAA，EAE，AII，EIO；AAI，EAO。
第二格：AEE，EAE，AOO，EIO；AEO，EAO。
第三格：AII，IAI，OAO，EIO；AAI，EAO。
第四格：AEE，IAI，EIO；AEO，EAO，AAI。
注意：分號前是無條件有效式，分號後是有條件有效式，下面會講解。
傳統邏輯假定結論的主項（小項）不是空的，也就是說這一項所表達的集合的元素是存在的，這個假定保證了以上四個格中分號後面的9個式是有效的，分號前面15個式的有效性不受這個假定的影響。可以看到，分號後的9個有效式都有一個特點，那就是結論是特稱的，而前提都是全稱的。
按照布爾的觀點，全稱命題不蘊含存在，也就是說不能只用全稱命題推出特稱命題（一般而言，特稱命題都被認為是有存在含義的，“有的A是B”的意思是“存在一個A且那個A是B”）。例如“所有汽車都是交通工具”不蘊含“汽車存在”的意思，所以他認為三段論只有分號前的15個有效式。
而亞里士多德認為在主項實際存在時全稱命題就蘊含存在，反之則不蘊含。例如“所有汽車都是交通工具”蘊含汽車存在，而“所有獨角獸都是只有一隻角的動物”不蘊含獨角獸存在，所以他認為在小項（即上面的“汽車”、“獨角獸）不空時，分號後的9個式也是有效的。我們也可以說，分號前的15個有效式是無條件有效的，後9個有效式是有條件有效的。
不難看出，第一格的有效式的結論含有AEIO四種形式，第二格只有否定的E、O兩種形式，第三格只有特稱的I、O兩種形式。第一格的有效式的結論既含有直言命題的全部形式，又比較符合日常表達習慣，所以它是比較重要的，後面我們可以看到，三段論的有效式都可以用第一格的前四個式證明。
三段論的有效性的證明
為了正確的運用三段論，必須要判斷它的有效性，可是記住全部24種有效形式是比較困難的，我們可以利用多種方式，證明三段論的有效性。
韋恩圖法
三段論推理韋恩圖法是判斷三段論有效性的最終的也是最直接的方法。如圖所示，我們用三個圓來代表大項、小項和中項。中項所代表的集合是最上方的圓，大項是右下角的圓，小項是左下角的圓。畫這些圓時，應當確保圖中的7個區域被明顯的區分。
為了判定一個三段論的有效性，我們要先從語義中提取推理形式，然後將前提按一定順序輸入圖中，最後檢查結論是否正確，為了正確的輸入前提，需要遵照一定的規則：
1：所謂蔭蔽指的是被蔭蔽的區域內不含任何元素，一般用斜線或陰影表示。
2：畫“X”表示所畫的區域中至少存在一個元素。
3：全稱的前提先輸入，特稱的前提後輸入。如果兩個前提都是全稱的，先輸入哪一個都可以。
4：要畫x的區域一般都被分為兩部分，若有一個部分被蔭蔽，x要畫在未被蔭蔽的部分。若沒有區域被蔭蔽，x要畫在兩個區域的交線上。
還要注意以下幾點：
1：所有標記（畫x或蔭蔽）都是對前提而言，沒有標記是為結論所做。
2：輸入前提時只需關注該前提所涉及的兩個詞項的圓，另一個圓只需極小的關注。
3：蔭蔽區域時一定要蔭蔽相關區域的“全部”。
4：特稱結論“有的S是P”的含義是：至少存在一個S並且這個S是P。“有的S不是P”也一樣。
5：未被標記的區域的情況是未知的，可能存在元素也可能不存元素，要根據實際情況而定。
另外一點，對於分號前和分號後的式子，驗證方法略有不同。
讀者可以在下面的例子中再仔細體會。
例一，驗證第一格AAA式即“所有M是P，所有S是M，所以所有S是P”的有效性
三段論推理如圖所示，
第一步：因為“所有”M都是P，所以“只屬於”M而不屬於P的事物是不存在的，所以我們就將區域1和2蔭蔽（應當不標註區域序號，這只是為了方便逐步講解）
第二步：因為“所有”S都是M，所以只屬於S而不屬於M的事物是不存在的，所以我們就將區域5和6蔭蔽
第三步：檢查結論，發現S只剩下區域3，而區域3中的元素也必定屬於P，所以結論“所有S是P”成立。
第四步：得出結論，該三段論是有效的。
例二，驗證第三格IAI式即“有的M是P，所有M是S，所以有的S是P”的有效性
三段論推理如圖所示，
第一步：先輸入全稱的前提“所有M是S”，蔭蔽區域1、4
第二步：再輸入特稱的前提“有的M是P”，這句話意味著在M和P的共有區域或者說交集中至少有一個元素，即區域3、4的並集中至少存在一個元素，但4已被蔭蔽，所以將x畫在區域3中。
第三步：檢查結論，“有的S是P”說明S和P的交集中即區域3、 6的並集中至少有一個元素，而x恰好在區域3中，結論成立。
第四步：得出結論，該三段論是有效的。
再來看一個分號後的例子。
例三，證明第一格EAO式即“所有M都不是P，所有S都是M，所以有的S不是P”
三段論推理如圖所示，
第一步：輸入“所有M都不是P”，即M和P的交集不含任何元素，蔭蔽區域3、4
第二步：輸入“所有S都是M”，蔭蔽區域5、6
第三步：檢查結論，“有的S不是P”意味著存在一個x並且那個x是S而不是P，即區域2、5的並集中存在一個x，檢查圖形卻沒有這個x。因此該三段論按布爾的觀點是無效的，我們繼續論證該三段論在亞里士多德的觀點下是有效的。
第四步，檢查有無只剩一個區域沒有被蔭蔽的圓，若沒有則該三段論是無效的。發現S只剩一個區域2未被蔭蔽，因此在區域2中畫上一個帶圓圈的叉。
第五步，再次檢查結論，得到了所需的x。這時，若S是現實存在的項，三段論就是有效的，若S不是現實存在的項，例如“當今存活的霸王龍”等等，那么三段論就是無效的。
注意，有時會出現一個以上的只剩一個區域沒有被蔭蔽的圓，這時只需將帶圈的x畫在S的範圍內就可以了。第二格的AEO式和EAO式就是如此。
最後再舉一個被證明為無效的例子
例四，驗證第一格IAI式即“有的M是P，所有S是M，所以有的S是P”的有效性。
三段論推理如圖所示，
第一步：先輸入全稱的前提“所有S是M”，蔭蔽區域5、6
第二步：再輸入特稱的前提“有的M是P”，即區域3、4的並集中存在一個x，但這兩個區域都未被蔭蔽，所以將x畫在區域3、4的交線上。
第三步：檢查結論，“有的S是P”說明S和P的交集中至少存在一個x，即區域3、6的並集中存在一個x，但我們所畫的x卻不知道到底是在區域3中還是區域4中，兩者都有可能。所以當x在區域4中時，前提真而結論假。同時又找不到只剩一個區域未被蔭蔽的圓，因此該三段論是無效的。
最後給出24個有效式的韋恩圖證明，如圖所示。
三段論推理三段論還原法
除了運用韋恩圖法，也可以通過運用一些規則，將欲證的三段論化為第一格分號前的四個有效式，從而證明三段論的有效性。
規則：（為了輸入方便，否定用“~”表示 ）
規則Ⅰ1：MAP，SAM，|- SAP(“|-”表示“必然地得出”)
規則Ⅰ2：MEP，SAM，|-SEP
規則Ⅰ3：MAP，SIM，|-SIP
規則Ⅰ4：MEP，SIM，|-SOP
換位規則：SEP， |-PES
換位規則：SIP，|-PIS
差等規則：SAP，|-SIP
差等規則：SEP，|-SOP
矛盾規則：SAP，|-~(SOP)
矛盾規則：SAP，|-~(SIP)
前四個規則是第一格分號前的四個有效式，後面的規則是和直言命題有關的規則。
例一：證明第二格AEE式
∴SEP
1） PAM 前提
2）SEM 前提
3）MES 2），換位規則 [這種寫法是說“對2）使用換位規則”，下同]
4）PES 3），1），Ⅰ2
5） SEP 4），換位規則
這就得到了所需的結論。
例二：證明第一格EAO式
∴SOP
1）MEP 前提
2）SAM 前提
3）SEP 1），2），Ⅰ2
4）SOP 3）， 差等規則（使用差等規則證明的都是分號後的有效式，要確保S項的存在性）
例三：證明第二格AOO式
∴SOP
1）PAM 前提
2）SOM 前提
3）~（SOP） 否定結論 [這裡運用了間接證明，即通過否定結論，得出一個矛盾，從而確定結論成立，即反證法]
4）SAP 3）矛盾規則
5）SAM 1），4），Ⅰ1 [這裡運用Ⅰ1規則時用P作中項]
6）~（SAM） 2），矛盾規則
7）SAM∧~（SAM） 5），6），∧+ [“∧+”指“合取附加律”，這裡的意思是使5），6）共同構成矛盾]
8）SOP 3）—7）， 間接證明
運用形式證明，可以將欲證的三段論化為第一格的前四個有效式，這種證明方法叫做三段論還原法。
