三叉戟[數學曲線名稱]

函式y=ax²+b/x（a>0，b>0）的圖像稱為三叉戟曲線。 三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函式y=ax²+b/x的圖像恰如其形，因而得名。牛頓最早研究了這個函式的圖像，所以也稱它為牛頓三叉戟。

介紹

三叉戟[數學曲線名稱]

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函式 （ ）的圖像稱為牛頓三叉戟曲線，也稱其為牛頓三叉戟。

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函式 （ ）的圖像很像希臘神話中海神波塞冬的武器三叉戟，而牛頓最早研究了這個函式的圖形從而有了 牛頓三叉戟的名稱。

性質

漸近線

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（1）因為 →0時 → ，所以牛頓三叉戟有一條鉛直漸近線 。

（2）牛頓三叉戟還有兩條 曲線漸近線

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（I） →0時，牛頓三叉戟有 雙曲線漸近曲線 ；

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（II） → 時，牛頓三叉戟有 拋物線漸近曲線 。

單調性

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函式 （ ）在區間（ ）、（ ）上單調遞減；而在區間（ ）上單調遞增。

最小值

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函式 （ ）在區間（ ）上有最小值 。

初等證明

單調性

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當 時， 、 ，所以 ，可知函式 （ ）在區間（ ）上單調遞減；

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當 時， ，所以函式 （ ）在區間（ ]上單調遞減；

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當 時， ，所以函式 （ ）在區間[ ）上單調遞增。

最小值

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利用上述單調性，即可知函式 （ ）在區間（ ）上有最小值 。

也可以不依賴於單調性，而直接利用均值不等式來證明：

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，等號在 時成立。

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即當時，函式在區間（ ）上有最小值 。

其它各種符號

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在其它各種符號下三叉戟的圖形

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舉例

上海2007年高考數學試卷第19題 ：就是一個牛頓三叉戟問題 。

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已知函式，

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（1）判斷的奇偶性；

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（2）若在[2，）上是增函式，求實數的範圍。

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【解】（1）當時，是偶函式；當時，既不是奇函式，也不是偶函式。

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（2）當時，在(0，）上是增函式，一定也在[2，）上是增函式；

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當時，是(0，）上的增函式，一定也是[2，）上的增函式；

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當時，的單調增加區間為 [，），據題意有[，），得。

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綜合起來可得實數的範圍是(，16]。