《哥德巴赫猜想》出版社：人民文學出版社
類別：文學
出版時間：2005-06-00
印刷時間：2005-06-00
上書時間：2007-04-09
詳細描述
哥德巴赫猜想是世界近代三大數學難題之一。1742年，由德國中學教師哥德巴赫在教學中首先發現的。
1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，正式提出了以下的猜想：a.任何一個大於 6的偶數都可以表示成兩個素數之和。b.任何一個大於9的奇數都可以表示成三個素數之和。
這就是哥德巴赫猜想。歐拉在回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。
從此，這道數學難題引起了幾乎所有數學家的注意。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。
中國數學家陳景潤於1966年證明：任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者可表示為兩個質數的乘積。”通常這個結果表示為 1+2。這是目前這個問題的最佳結果。
兩個猜想
1.每個不小於6的偶數都是兩個奇素數之和；
2.每個不小於9的奇數都是三個奇素數之和。
《哥德巴赫猜想》哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生於1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數（只能被和它本身整除的數）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的注意。從哥德巴赫提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人對33×108以內且大過6之偶數一一進行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但嚴格的數學證明尚待數學家的努力。
從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的"明珠"。 人們對哥德巴赫猜想難題的熱情，歷經兩百多年而不衰。世界上許許多多的數學工作者，殫精竭慮，費盡心機，然而至今仍不得其解。
到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年挪威數學家布朗用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比大的偶數都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從（9十9）開始，逐步減少每個數里所含質數因子的個數，直到最後使每個數里都是一個質數為止，這樣就證明了哥德巴赫猜想。
目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理：“任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。”通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “1 + 2”的形式。
哥德巴赫猜想之猜想
摘要：本文運用一般數理法則，結合集合的定義，歸納出偶數分解過程中存在的一個固有規律。直接以命題方式推出，方法簡明扼要，易普及，還能廣泛被人們接受。
關鍵字：偶數、分解、素數、定理。
定義：任一≥6的偶數h,若在[h/2，h]的閉區間上存在多個素數gi,就有可能存在與＜h/2的素數gj相互對應，使得h＝g1+g2成立。
證明：設定gi＜h是一連續的素數數列：
gi＝g0,g1,…,gk-1,gk,gk+1,…,gn-1,gn；註：g0是接近h的素數，gk≥h/2是臨界點(gk-1＞h/2；gk+1＜h/2), gn-1＝5，gn＝3；式中：i,k,n∈N。
這個偶數h分別與數列中素數之差a0,a1,…,ak-1,ak,ak+1,…,an-1,an組成一個集合In＝{a0,a1,…,ak-1,ak,ak+1,…,an-1,an}。在集合In的諸位元素中，gk是臨界素數。若ak＝h/2，必有ak＝gk，使得：h＝gk+gk；ak≠gk時,從ak+1到an的所有元素中，若存在m個素數元素，則集合In從a0至ak的諸元素中，必有m個素數元素與之對應，從而使得h＝gk-j+gk+i(j=0,1,2,…。)成立。就是在集合In中，存在n個≥h/2的素數元素gk-j，h就一定有n組兩素數之和存在。
推理：這是偶數分解過程中，客觀存在的一個基本規律，勿庸置疑。下面舉例表明這一構想成立。
例1 選擇h=30；gi=29,23,19,17,13,11,7,5,3。
1=30-29； 7=30-23； 11=30-19；13=30-17；
17=29-13；19=30-11；23=30-7； 25=30-5；27=30-3。
將h=30與素數數列中每一素數之差，組成一個集合： I0＝{1,7,11,13,17,19,23,25,27,}
從h=30與素數數列中每一素數之差可以看出，當偶數h與一素數gk-j之差為另一素數gk+i時,同樣這個偶數h還存在另一組與gk+i之差等於gk-j。再將它們之間的差，從小至大依次排列並集合在一起。有兩不相等的兩素數之和的分解式，其差就有兩次機會進入這個集合I0中，而只有一素數與一奇數或相等的兩個素數之和的分解式，其差只有一次機會進入這個集合I0中。所以只要判定這個集合I0中有n個元素≥h/2的素數，則這個偶數h就一定有n組兩素數之和存在，從而使得以上推理成立。
在集合I0中，有3個≥15的素數17,19,23，分別與＜15的素數13,11,7與之對應，使得：17+13=30,19+11=30,23+7=30成立。
例2選擇h=34；gi=31,29,23,19,17,13,11,7,5,3。
3=34-31； 5=34-29； 11=34-23；15=34-19；17=34-17；
21=34-13；23=34-11； 27=34-7；29=34-5； 3=34-31。
將h=34與素數數列中每一素數之差，組成一個集合： I1＝{3,5,11,15,17,21,23,27,29,31}
在集合I1中，有一素數元素ak＝gk＝17，它與該集合中任一元素之和，均不等於34，只存在34＝2×17或34＝17+17。這一現象的主要原因是，在34的諸多分解式中，只有唯一一組分解式17=34-17，所以在集合I1中只有唯一一元素ak＝gk＝17存在。顯然例2是以上定義推理的補充實例。同樣集合I1有4個≥17的素數元素，偶數h=34就有4組不同的兩素數之和(17+17,23+11,29+5,31+3)存在。
結論：由以上定義、證明、推論三個環節可總結一個定理。
定理1 任一≥6的偶數h, 若在閉區間[h/2，h]上，存在若干素數gj,將這些素數gj與它小的所有素數g組成一個素數數列gi。這個偶數h，與素數數列gi中的每一素數之差ai，再組成一個集合：In＝{a0,a1,…,ak,…an-1,an}。若集合In中有n個≥h/2的素數元素，該偶數h就一定有n組兩素數之和存在”。
定理2 若一偶數h在[h/2, h]的閉區間上無素數g存在；或在這個閉區間上的若干個素數中，均不能與＜h/2的素數一一對應，且ak≠h/2時，則該偶數h與素數數列gi中的每一素數之差，組成的集合In＝{a0,a1,…,ak,…an-1,an}中，不可能有素數元素存在。所以在這兩種條件下，這個偶數h就一定不能分解成兩素數之和。
參考文獻：
W•希爾，G•洛夫著，周煥山譯 套用數學基礎 1974.3 130031 208
註：式中gi＝g0,g1,…,gk-1,gk,gk+1,…,gn-1,gn；的0,1,…,k-1,k,k+1,…,n-1,n.均為g的角標。其它類同，若不看成角標，將無法理解。
