阿奚里追龜

“阿基里斯追不上烏龜”是古希臘的一個哲學故事。 阿基里斯當然能夠追上烏龜，用方程可以來解決。 一旦用了這樣的思維方式，就會使思維過程沒有完結，從而使得阿基里斯追不上烏龜。

邏輯問題
“阿基里斯追不上烏龜”是古希臘的一個哲學故事。阿基里斯是當時的一個善於長跑的人。阿基里斯當然能夠追上烏龜，用方程可以來解決。假設阿基里斯的速度為a，烏龜的速度為b，阿基里斯開始追趕烏龜的時候，烏龜在阿基里斯的前面，假設這段距離為c，請問需要多少時間阿基里斯可以追上烏龜。設所需要的時間為x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由於a b c都是常數，x當然可以求得一個解。當然如果a b 的差如果很小，那么解可以趨於無窮大。
但是在這個哲學故事裡面和這個問題卻毫無關係，在這個故事裡面說阿基里斯追不上烏龜是說，不論阿基里斯比烏龜跑得有多快，他都追不上。
但是當我們引入無限分割的問題時，馬上出現了變化。
如果我們故意這樣思考：阿基里斯在追趕烏龜的過程中，或者追上烏龜之前，必須先走完烏龜當前已經超過他的距離。（這不是假設，而是確實應該的事情。但是這種思維方式卻是假定的，你可以用這樣的思維方式，也可以不用。一旦用了這樣的思維方式，就會使思維過程沒有完結，從而使得阿基里斯追不上烏龜。）按照這種思維方式，當阿基里斯走完烏龜超過他的距離後，烏龜在這段時間裡也前進了一段距離，雖然愈來愈小。每次這樣的思維，結果都是一樣的，在這個過程中，邏輯並沒有犯錯。我們可以把這樣的思考無限循環下去，而且烏龜繼續前進的距離永遠不會是零，雖然趨向無窮小，那么可以用形式邏輯的方法，推出這樣的結論：阿基里斯永遠追不上烏龜。
以上的問題怎么解決呢？
或許可以用微積分的方法。阿基里斯追不上烏龜的故事中，實際涉及到：對有限空間在有限時間內以無限速度作無限分割。這個分割實際就是無窮小，我們完全可以規定這個無窮小等於0，因此只要出現無窮小的現象或情況，我們就可以認為0要出現，事物的變化就有確定性。
或許我們和古人的區別在於，我們認為無窮小是0，而古人認為無窮小是永遠不能等於0。古人他們太認真了，他們會想，無窮小僅僅是無窮小，怎么會是0呢，相反它永遠也不會是0。實際上無窮小是一個完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0與非0之間的界限，實際上還是用有限的方式，去思維無限的對象，或者把有限的事物予以無限化。