運算元內插

運算元內插

正文

證明運算元有界性的一種數學方法。如果運算元T 是Lp到Lq的有界運算元，即對所有的ƒ∈Lp，有Tƒ∈Lq，且滿足

式中M是運算元的界,與ƒ無關，就稱T是強(p,q)型的。最早也是最典型的運算元內插定理是里斯-索林定理。
里斯－索林定理 如果線性運算元T 同時是強(p1,q1)和強(p2,q2)型的，其中1≤pj≤∞，1≤qj≤∞(j=1,2)，即

則對所有滿足

(1)

的p和q,T是強(p,q)型的，即

並且M,M1,M2之間滿足不等式

。

可以從幾何上來看定理中p,q和pj，qj的關係。記則α1、α 2表示區間【0,1】上的兩點,α在α1,α 2之間,構想β是α 的函式,在α1時取值β1,在α 2時取值β2,問β在α點取什麼值？關係式(1)表明β的值恰好等於在(α1,β1)和(α 2,β2)作線性內插時的線性函式在α 取的值(圖1)。這就是運算元內插這個名稱的由來。
里斯-索林定理說明，要證明一個線性運算元T是Lp到Lq有界的，只須驗證T同時是L到L和L到L有界的。也就是說，要得到T 是強型的,只需驗證T 線上段的兩個端點具有相應的型，即同時是強型和強型就可以了。
下面通過一個典型例子來看如何套用這種運算元內插的方法。
豪斯多夫－楊定理　設弮是ƒ的傅立葉變換,即

,

則

，

式中

。

從運算元內插的觀點來看這個定理，就顯得比較簡單。事實上,取p1=2,q1=2,這時不等式是帕舍伐爾等式的推論。取p2=1,q2=∞，這時顯然有 。用里斯-索林定理便得所要證的結果（圖2）。如果不用運算元內插,這定理的證明就困難得多。
里斯-索林定理的條件可以減弱。首先,線性運算元的條件可用次可加性代替，所謂次可加性是指對任意的ƒ，g，皆有

其次，更重要的是定理的強型條件可以用下面的弱型條件代替。稱T是弱(p,q)型的(1≤q＜∞),如果存在常數C，使得對任意的ƒ∈Lp和任意的實數λ>0，有不等式

成立，式中m表示勒貝格測度。如果q=∞，則弱(p,q)型用強(p,q)型定義。不難證明，強(p,q)型的運算元一定是弱(p,q)型的。這樣代替以後，p,q的限制要多一些，這可以敘述為下面的另一個十分基本的內插定理。
馬欽凱維奇內插定理　如果次可加運算元 T同時是弱(p1,q1)型和弱(p2,q2)型的，即

式中1≤p1≤q1≤∞,1≤p2≤q2≤∞, p1<p2,q1≠q2,則對所有滿足

的(p, q)，T是強(p, q)型的，即

調和分析中的許多重要運算元,如哈代-李特爾伍德極大函式，奇異積分運算元等的強(p,p)型(1<p<∞），都是用馬欽凱維奇內插定理證明的。
除上述兩個定理外，還有許多其他類型的運算元內插定理。近代的運算元內插理論，已經從Lp空間推廣到其他許多的空間, 例如索伯列夫空間、Hp 空間、別索夫空間等等。
運算元內插的方法不僅在調和分析，還在泛函分析、偏微分方程的理論中有許多套用。
參考書目
　E.M.Stein and G.Weiss,lntroduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton Univ. Press, Princeton, 1971.
　A.Zygmund,Trigonometrical Series,2nd ed., Vol. 1～2,Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1959.

配圖

相關連線