基本介紹
辛格爾頓界定理1辛格爾(Singleton)頓界設 是一個參數為[n,k]的線性碼，則C的極小距離d≤n-k+1。
以上表明一個線性碼的極小距離不會“太大”，無論怎樣努力，都不能夠構造出一個參數為[n,k]的線性碼，使得它的極小距離大於n-k+1，由此可見，最好的期望就是構造使得極小距離等於n-k+1的線性碼，於是引出下面的定義。
一個參數為[n,k]的線性碼C，若滿足d(C)=n-k+1，則稱該碼為極大距離可分碼，簡稱為MDS碼。
辛格爾頓界的證明
證明辛格爾(Singleton)頓界之前先介紹一個定理，下面的定理揭示了線性碼的校驗矩陣與其極小重量亦即極小距離之間的關係。
辛格爾頓界定理2設 是一個參數為[n,k]的線性碼，令 u∈C，W( u)=m，C的校驗矩陣為 H,則 H中有m列存在一個線性相關關係。反之，對於 H的m列中任何一個線性相關關係，都對應一個C中重量不大於m的碼字。
證明：因為 u∈C， H是C的校驗矩陣，所以 Hu =0，又W( u)=m，去掉 u的零分量，這正是H的m列的一個線性相關關係。因此，H中有m列存在一個線性相關關係。反之，如果H的m列有一個線性相關關係，則存在m個不全為零的係數，使得這m列的線性組合等於零，現在定義一個一維行向量u：與這m個列對應的分量就取對應的這m個係數，其餘分量取零。顯然，W( u)≤m, Hu = 0，所以， u是一個C中重量不大於m的碼字。
辛格爾頓界推論1 設 是一個線性碼，C的校驗矩陣為 H，則C的極小重量亦即極小距離為d若且唯若d=max{m| H的任意m-1列都線性無關}。
證明:由定理2可得。
辛格爾(Singleton)頓界的證明：
設參數為[n,k]的線性碼C的校驗矩陣為 H,則 H是一個秩為n-k的(n-k)×n矩陣，因此， H中的任意n-k+1列都線性相關。由定理2可知，
d≤n-k+1。
