秦九昭

13， 21， 13，

秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先後在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至廣東梅州，不久死於任所。他與李冶，楊輝，朱世傑並稱宋元數學四大家。早年在杭州“訪習於太史，又嘗從隱君子受數學”，1247年寫成著名的《數書九章》。《數書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數學成就----“大衍總數術”（一次同餘組解法）與“正負開方術"(高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有突出的地位。秦九韶的數學成就及對世界數學的貢獻主要表現在以下方面：的地位。1、秦九韶的《數書九章》是一部劃時代的巨著。秦九韶潛心研究數學多年，在湖州守孝三年，所寫成的世界數學名著《數學九章》，《癸辛雜識續集》稱作《數學大略》，《永樂大典》稱作《數學九章》。全書九章十八卷，九章九類：“大衍類”、“天時類”、“田域類”、“測望類”、“賦役類”、“錢穀類”、“建設類”、“軍旅類”、“市物類”，每類9題（9問）總計81題（81問），該書內容豐富至極，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建築、運輸，各種幾何圖形和體積，錢穀、賦役、市場、牙厘的計算和互易。許多計算方法和經驗常數直到現在仍有很高的參考價值和實踐意義，被譽為“算中寶典”。該書著述方式，大數書九章多由“問曰”、“答曰”、“術曰”、“草曰”四部分組成：“問曰”，是從實際生活中提出問題；“答曰”，給出答案；“術曰”，闡述解題原理與步驟；“草曰”，給出詳細的解題過程。此書已為國內外科學史界公認的一部世界數學名著。此書不僅代表著當時中國數學的先進水平，也標誌著中世紀世界數學的最高水平。我國數學史家梁宗巨評價道：“秦九韶的《數書九章》（1247年）是一部劃時代的巨著，內容豐富，精湛絕倫。特別是大衍求一術（不定方程的中國獨特解法）及高次代數方程的數值解法，在世界數學史上占有崇高的地位。那時歐洲漫長的黑夜猶未結束，中國人的創造卻像旭日一般在東方發出萬丈光芒。”2、秦九韶的“大衍求一術”，領先卡爾·弗里德里希·高斯554年，被康托爾稱為“最幸運的天才” 秦九韶所發明的“大衍求一術”，即現代數論中一次同餘式組解法，是中世紀世界數學的最高成就，比西方1801年著名數學家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同餘理論早554年，被西方稱為“中國剩餘定理”。秦九韶不僅為中國贏得無尚榮譽，也為世界數學作出了傑出貢獻。3、秦九韶的任意次方程的數值解領先霍納572年。秦九韶在《數書九章》中除“大衍求一術”外，還創擬了正負開方術，即任意高次方程的數值解法，也是中世紀世界數學的最高成就，秦九韶所發明的此項成果比1819年英國人霍納（W·G·Horner，1786—1837年）的同樣解法早572年。秦九韶的正負方術，列算式時，提出“商常為正，實常為負，從常為正，益常為負”的原則，純用代數加法，給出統一的運算規律，並且擴充到任何高次方程中去。此外，秦九韶還改進了一次方程組的解法，用互乘對減法消元，與現今的加減消元法完全一致；同時秦九韶又給出了籌算的草式，可使它擴充到一般線性方程中的解法。在歐洲最早是1559年布丟（Buteo，約1490—1570年，法國）給出的，他開始用不很完整的加減消元法解一次方程組，比秦九韶晚了312年，且理論上的不完整也遜於秦九韶。 秦九韶還創用了“三斜求積術”等，給出了已知三角形三邊求三角形面積公式，與海倫（heron，公元50年前後）公式完全一致。秦九韶還給出一些經驗常數，如築土問題中的“堅三穿四壤五，粟率五十，牆法半之”等，即使對現在仍有現實意義。秦九韶還在十八卷77問“推計互易”中給出了配分比例和連鎖比例的混合命題的巧妙且一般的運算方法，至今仍有意義。大衍求一術

中國古代求解一類大衍問題的方法。大衍問題源於《孫子算經》中的“物不知數”問題：“今有物，不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”這是屬於現代數論中求解一次同餘式方程組問題。宋代數學家秦九韶在《數書九章》（1247年成書）中對此類問題的解法作了系統的論述，並稱之為大衍求一術。德國數學家C.F.高斯是在1801年才建立起同餘理論的，大衍求一術反映了中國古代數學的高度成就。

中國剩餘定理民間傳說著一則故事——“韓信點兵”。

秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，於是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有後軍來報，說有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大嘩。韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統帥，這一來更相信韓信是“神仙下凡”、“神機妙算”。於是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步進逼，楚軍亂作一團。交戰不久，楚軍大敗而逃。首先我們先求3、5、7、的最低公倍數105（註：因為3、5、7為兩兩互質的整數，故其最低公倍數為這些數的積），乘以10,然後再加23，得1073（人）。在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數.這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩餘定理”，這是由中國人首先提出的. ① 有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？ 解：除以3餘2的數有： 2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23…. 它們除以12的餘數是： 2，5，8，11，2，5，8，11，…. 除以4餘1的數有： 1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，…. 它們除以12的餘數是： 1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一個數除以12的餘數是唯一的.上面兩行餘數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的餘數是5. 如果我們把①的問題改變一下，不求被12除的餘數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它是 5+12×整數， 整數可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5後，注意到12是3與4的最低公倍數，再加上12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把“除以3餘2，除以4餘1”兩個條件合併成“除以12餘5”一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合併成一個.然後再與第三個條件合併，就可找到答案. ②一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數. 解：先列出除以3餘2的數： 2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…， 再列出除以5餘3的數： 3， 8， 13， 18， 23， 28，…. 這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最低公倍數是15.兩個條件合併成一個就是8+15×整數，列出這一串數是8， 23， 38，…，再列出除以7餘2的數 2， 9， 16， 23， 30，…， 就得出符合題目條件的最小數是23. 事實上，我們已把題目中三個條件合併成一個：被105除餘23. 那么韓信點的兵在1000-1500之間，應該是105×10+23=1073人 中國有一本數學古書孫子算經也有類似的問題：今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？ 答曰：二十三 術曰：三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。 孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。

秦九韶算法

把一個n次多項式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改寫成如下形式： f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0] =(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0] =((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0] =...... =(......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0]. 求多項式的值時，首先計算最內層括弧內一次多項式的值，即 v[1]=a[n]x+a[n-1] 然後由內向外逐層計算一次多項式的值，即 v[2]=v[1]x+a[n-2] v[3]=v[2]x+a[n-3] ...... v[n]=v[n-1]x+a[0] 這樣，求n次多項式f(x)的值就轉化為求n個一次多項式的值。 （註：中括弧里的數表示下標） 上述方法稱為秦九韶算法。直到今天，這種算法仍是多項式求值比較先進的算法 該算法看似簡單，其最大的意義在於將求n次多項式的值轉化為求n個一次多項式的值。在人工計算時，利用秦九韶算法和其中的係數表可以大幅簡化運算；對於電腦程式算法而言，加法比乘法的計算效率要高很多，因此該算法仍有極大的意義，用於減少CPU運算時間。

外國人對秦九韶的評價

秦九韶是他那個民族，他那個時代，並且確實也是所有時代最偉大的數學家之一。 --------------美國科學史家 薩頓

生活中的秦九韶

對於秦九韶究竟是何等樣人，除了“偉大的數學家”之外，通常就諱莫如深了。用現代的眼光看，秦九韶可能是中國歷史上少見的奇人之一。關於秦九韶究竟是何等樣人，其實宋人文獻中留下了相當豐富的記載，主要可見於周密（人名）的《癸辛雜識續集》卷下和著名詞人劉克莊文集中的“繳秦九韶知臨江軍奏狀”。秦九韶18歲就統帥私人武裝，為人“豪宕不羈”，如果將他和義大利文藝復興時期的那些風雲人物相比，竟有幾分相似：他多才多藝，懂得星占、數學、音樂、建築，還擅長詩文，會騎術、劍術、踢球等等。同時又利慾薰心，驕奢淫逸，熱衷於做官，一心往上爬。秦九韶做過幾任地方官，最後死在梅州任上。他最高做到大約相當於今天局級的官職。　秦九韶行為乖戾，出人意表，被他的同時代人認為是“不孝、不義、不仁、不廉”，平日橫行鄉里，惡霸一方，所以多次被褫去官職或取消任命。例如，在他擔任地方長官的父親宴客時，他帶著妓女出席。又如，他竟能將他上司的田產“以術攫取之”，在其中建造他的超豪華莊園（他親自設計那些奇特的房屋）。再如，他命令手下殺死自己的兒子，而且親自設計了毒死、用劍自裁、溺死三種方案；當得知這名手下偷偷放了他兒子時，他竟巨額懸賞，滿世界追殺兒子和這名手下。有一年夏天，秦九韶和一個他所寵愛的姬妾月夜在庭院中交歡，不意被一個汲水的僕役撞見，他認為那僕役有意窺探他的隱私，就誣告該僕役偷盜，將其送官，要求判僕役黥面流放。地方官認為該僕役罪不至此，沒有按照秦九韶的要求判決，秦九韶為此懷恨地方官，竟企圖將他毒死。當時的記載說秦九韶“多蓄毒藥，如所不喜者，必遭其毒手”。這就是被劉克莊稱為“暴如虎狼，毒如蛇蠍，非復人類”的秦九韶。毫無疑問，他是一個瘋狂的惡棍，但與此同時，他確實也是一個天才的數學家。我們甚至可以推想，如果他有時間或精力寫下音樂或建築方面的著作，也可能又有某項歷史性的貢獻。