牛頓-萊布尼茨公式

牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函式的原函式或者不定積分之間的聯繫。

基本信息

• 中文名：牛頓-萊布尼茨公式
• 英文名：Newton-Leibniz formula

• 提出者：牛頓和萊布尼
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：函式
• 別稱：微積分基本定理
• 提出時間：1677年
• 又名：微積分基本定理

簡介

牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個連續函式在區間[a，b]上的定積分等於它的任意一個原函式在區間[a，b]上的增量。牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式，1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。 因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式。
牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算過程。

定理定義

定義

如果函式在區間 上連續，並且存在原函式，
則

弱化條件

如果函式區間 上有定義，並且滿足以下條件：

（1）在區間上可積；
（2）在區間上存在原函式；
則

公式推導

推導一

定義一個變上限積分函式，讓函式獲得增量，則對應的函式增量

根據積分中值定理可得，

所以

因為

所以

所以

即
證畢。

推導二

因為函式在區間上可積，任取區間的分割

在區間上任取一點，則有

其次，對於分割，有

在區間上對函式套用拉格朗日中值定理得

其中因此有


證畢。

定理推廣

二重積分形式

設函式在矩形區域上連續，如果存在一個二元函式，使得，

則二重積分

曲線積分形式

牛頓-萊布尼茨公式

設D為單連通區域，與格林公式和高斯公式的聯繫與格林公式和高斯公式的聯繫 , 與在區域D上有連續的一階偏導數，

若存在一個二元函式，使得
在區域D中任意取兩個點 A,B ，則對連線A,B 的任意一條光滑曲線L，
都有

發展簡史

1670年，英國數學家伊薩克·巴羅在他的著作《幾何學講義》中以幾何形式表達了切線問題是面積問題的逆命題，這實際是牛頓-萊布尼茨公式的幾何表述。
1666年10月，牛頓在它的第一篇微積分論文《流數簡論》中解決了如何根據物體的速度求解物體的位移這一問題，並討論了如何根據這種運算求解曲線圍成的面積，首次提出了微積分基本定理。德國數學家萊布尼茨在研究微分三角形時發現曲線的面積依賴於無限小區間上的縱坐標值和。
1677年，萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理：給定一個曲線，其縱坐標為y，如果存在一條曲線z，使得dz/dx=y，則曲線y下的面積∫ydx=∫dz=z。

定理意義

牛頓-萊布尼茨公式的發現，使人們找到了解決曲線的長度，曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它簡化了定積分的計算，只要知道被積函式的原函式，總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。牛頓-萊布尼茨公式是聯繫微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。牛頓-萊布尼茨公式是積分學理論的主幹，利用牛頓一萊布尼茨公式可以證明定積分換元公式，積分第一中值定理和積分型餘項的泰勒公式。牛頓-萊布尼茨公式還可以推廣到二重積分與曲線積分，從一維推廣到多維。

公式套用

牛頓-萊布尼茨公式簡化了定積分的計算，利用該公式可以計算曲線的弧長，平面曲線圍成的面積以及空間曲面圍成的立體體積，這在實際問題中有廣泛的套用，例如計算壩體的填築方量。牛頓-萊布尼茨公式在物理學上也有廣泛的套用，計算運動物體的路程，計算變力沿直線所做的功以及物體之間的萬有引力。牛頓-萊布尼茨公式促進了其他數學分支的發展，該公式在微分方程，傅立葉變換，機率論，複變函數等數學分支中都有體現。

證明

牛頓-萊布尼茨公式

面就是該公式的證明全過程：
我們知道，對函式f(x)於區間【a,b】上的定積分表達為：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
現在我們把積分區間的上限作為一個變數，這樣我們就定義了一個新的函式：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是這裡x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函式的自變數，但定積分中被積函式的自變數取一個定值是沒意義的。為了只表示積分上限的變動，我們把被積函式的自變數改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下來我們就來研究這個函式Φ(x）的性質：
1、定義函式Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，則Φ’(x)=f(x)。
證明：讓函式Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函式增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
顯然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x與x+Δx之間，可由定積分中的中值定理推得，
也可自己畫個圖，幾何意義是非常清楚的。)
當Δx趨向於0也就是ΔΦ趨向於0時，ξ趨向於x，f(ξ)趨向於f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可見這也是導數的定義,所以最後得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函式。
證明：我們已證得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（積分區間變為【a,a】，故面積為0），所以F（a）=C
於是有Φ(x）+F（a）=F（x），當x=b時，Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再寫成x，就變成了開頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。

相關人物

牛頓

牛頓-萊布尼茨公式

牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變數是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程（積分法）。