起源
無限猴子定理零一律是機率論中的一個定律，它是安德雷·柯爾莫哥洛夫發現的，因此有時也叫柯爾莫哥洛夫零一律。其內容是：有些事件發生的機率不是幾乎一（肯定發生），就是幾乎零（肯定不發生）。這樣的事件被稱為“尾事件”。尾事件是由無限多的隨機變數的序列來定義的。比如它不是與X1的值無關。比如假如我們扔無限多次硬幣，則連續100次數字面向上的事件是一個尾事件。
定義
一般關於此定理的敘述為：有無限只猴子用無限的時間會產生特定的文章。其實不必要出現了兩件無限的事物，一隻猴子打字無限次已經足夠打出任何文章，而無限只猴子則能即時產生所有可能的文章。其他取代的敘述，可能是用英國博物館或美國國會圖書館取代法國國家圖書館；另一個常見的版本是英語使用者常用的，就是猴子會打出莎士比亞的著作。
證明
無限猴子定理兩個獨立事件同時發生的機率等於其中每個事件單獨發生的機率的乘積。比如，在某一天悉尼下雨的可能性為0.3，同時舊金山地震的可能性是0.008（這兩個事件可以視為相互獨立的），那么它們同時發生的機率是0.3×0.008=0.0024。
假設一個打字機有50個鍵，想要打出的字是“banana”。隨機的打字時，打出第一個字母“b”的機率是1/50，打出第二個字母“a”的機率也是1/50，因為事件是獨立的，所以一開始就打出單詞“banana”的機率是：
(1/50)×(1/50)×(1/50)×(1/50)×(1/50)×(1/50)=(1/50)6
這個機率小於150億分之1。同理，接下來繼續打出“banana”的機率也是(1/50)6。
所以，在給定的六個字母沒有打出“banana”的機率是1-(1/50)6。因為每一段（6個字母）文字都是獨立的，連續n段都沒有打出“banana”的機率Xn是：
隨著n變大，Xn在變小。當n等於100萬時，Xn大約是0.9999（沒有打出“banana”的機率是99.99%）；但是當n等於100億時Xn大約是0.53（沒有打出“banana”的機率是53%）；當n等於1000億時Xn大約是0.0017（沒有打出“banana”機率是0.17%）;當n趨於無窮時Xn趨於零。這就是說，只要使n足夠大，Xn可以變得足夠小。
同樣的論證也可以說明在無限多的猴子中有至少一個會打出一段特定的文章。這裡，其中Xn表示在前n個猴子中沒有一個一次打出banana的機率。當我們有1000億隻猴子時，這個機率降低到0.17%，並且隨著猴子數量n趨於無窮大，沒有打出“banana”的機率Xn趨於0。
但是，在只有有限的時間和有限只猴子時，結論就大不一樣了。如果我們的猴子數量和可觀測宇宙中的基本粒子數量一樣多，大約10的80次方只，每秒鐘打1000個字，持續打100倍於宇宙的生命長度的時間（大約10的20次方秒）有猴子能夠打出一本很薄的書的機率也接近於0。
無限長的字元串
以下兩種情況可以擴展到所有的字元串：
1.給定一個無限長的字元串，其中的每一個字元都是隨機產生的，那么任意有限的字元串都會作為一個子字元串出現在其中（事實上要出現無限多次）。
2.給定一個序列，其中有無限多個無限長的字元串，其中每一個字元串中的每一個字元都是隨機產生的，那么任意有限的字元串都會出現在其中某些字元串的開頭（事實上是無限多個字元串的開頭）。
對於第二個定理，設Ek某給定字元串出現在第k個字元串開頭的事件。有固定的且不為零的機率p是這個事件發生，而且Ek是獨立的，所以：
事件Ek發生無窮多次的機率是1。第一個定理可以類似地處理，先將無限長的字元串分割，使得每一段的長度和給定字元串相同，然後設Ek是第k段等於給定字元串的事件。
機率論證
不算標點符號、空格、大小寫，一個猴子隨機打字打出的第一個字母和哈姆雷特中相同的機率是1/26，前兩個字母相同的機率是1/676【即1/（26*26）】。因為機率發生了指數爆炸，前20個字母相同的機率是26的20次方，約等於1.99*10的28次方。而打出的字和哈姆雷特中的全部文本相同的機率降低到超出人們的想像。整部哈姆雷特大約有130,000個字母。雖然有【3.4*（10的183946次方）】分之一的機率一遍就正確地打出所有文本，在打出正確的文字之前平均需要輸入的字母數量也要3.4*（10的183946次方），或者包括標點符號，4.4*（10的360783次方）。即使可觀測宇宙中充滿了猴子一直不停地打字，能夠打出一部哈姆雷特的機率仍然少於10的183800次方分之一。
