漸進平直時空

對於這樣的體系， (i)， (j)，

自本節起， 我們將介紹正質量定理 (有時也稱為正能量定理)。 這一定理是經典廣義相對論中一個很漂亮的結果， 但在廣義相對論的教材甚至專著中都極少介紹， 讀者要了解這一定理， 往往只能求助於原始文獻。 而原始文獻與教材或專著的一個很大的差別， 就在於它的論述往往不是自給自足 (self-contained) 的， 而要依賴其它原始文獻。 更麻煩的是， 那些被依賴的文獻本身又分別有自己所依賴的文獻。 這種層層相關的結果， 是除非讀者已有足夠的背景知識， 否則為讀懂一篇原始文獻， 往往要順藤摸瓜地讀上一大堆其它文獻， 其過程有如一個初學英語的人試圖通過英-英詞典查找詞義。 對於正質量定理來說， 這種困難在 Richard Schoen 與 Shing-Tung Yau (丘成桐) 的論文中體現得尤為明顯。 在他們高度數學化的論文中， 對物理背景及某些源自物理的數學表達式的由來交待得極為簡略， 或沒有交代。 不熟悉背景的讀者哪怕細細研讀他們的論文， 也有可能只見樹木， 不見森林。 因此在敘述正質量定理之前， 我們將首先對這一定理及其證明所涉及的若干物理概念進行介紹。
引力場的能量動量問題一直是廣義相對論研究中一個很困難的課題。 自 Einstein 以來， 許多早期的廣義相對論研究者， 比如 Richard Tolman、 Lev Landau、 Christian Møller 等， 都曾在這一問題上做過很大的努力。 那些早期研究的目的之一， 是想探究引力場本身的能量動量是如何分布的。 現在回顧起來， 那些研究雖非毫無啟示， 但在很大程度上歸於了失敗。 後來的物理學家大都認為， 引力場的能量動量是不可定域的。 從等效原理的角度講， 這一點幾乎是顯而易見的， 因為對應於牛頓引力場的 Riemann 聯絡可以通過坐標變換局域地消去。 因此如果執意要尋找引力場能量動量分布的定域表述， 就得付出很大的代價， 比如限制坐標變換， 引進高階導數， 放棄能量動量的協變性， 設定背景度規或背景聯絡等。 這些做法沒有一種是省油的燈， 而且過去多年的研究經驗表明， 即便付出那樣的代價， 結果依然不盡人意。 Misner、 Thorne 和 Wheeler 在其巨著《gravitation》中曾經表示： 尋找定域引力場能量動量的努力是 “試圖為一個錯誤的問題尋找正確的答案”。
但另一方面， 一對脈衝雙星會因為引力輻射而損失能量， 從而導致軌道蛻變及軌道周期的變化， 這種周期變化可以精確地加以計算， 並獲得觀測的驗證。 由於引力輻射是由純引力場組成的， 因此引力場本身攜帶能量動量是毫無疑問的事情。 這樣看來， 問題的關鍵在於有關引力場的能量動量我們究竟可以知道多少？ 這是一個目前還在研究之中的問題。 物理學界比較公認的一點是， 一個孤立體系的總能量動量是可以定義的， 這個總能量動量既包含了普通物質的貢獻， 也包含了引力場的貢獻。 對這一能量動量的理論表述是由 Richard Arnowitt, Stanley Deser 和 Charles Misner 於二十世紀六十年代初提出的， 被稱為 ADM 能量動量， 其中的能量部分則稱為 ADM 能量， 也叫 ADM 質量。 我們所要介紹的正質量定理涉及的就是這一質量。
要想定義一個孤立體系的總能量動量， 首先必須搞明白什麼是孤立體系。 從物理上講， 一個體系的 “孤立” 指的是遠離任何其它體系， 或者更確切地說， 是任何其它體系對它的影響都可以忽略。 對於這樣的體系， 我們可以在各種距離上考察其物理性質， 而不必擔心受到其它體系的影響。 由於這一特點， 我們可以利用該體系的某些與距離有關的物理性質來定義其 “孤立” 性。 比方說， 我們可以這樣來定義一個孤立的帶電體系： 1. 所有的源 (電荷、 電流) 都分布在一個緊緻的空間區域中； 2. 對於固定時刻 t， 沿空間方向遠離體系 - 即空間距離 r→∞ - 時場強的衰減與空間距離的平方成反比， 即 Fμν~O(1/r)； 3. 沿類光測地線遠離體系時場強的衰減與空間距離成反比， 即 Fμν~O(1/r)。
將這種思路用到引力場中， 一個很自然的構想是通過度規場 gμν 以適當方式趨於 Minkowski 度規 ημν 來定義孤立體系。 因為從物理上講， 遠離一個孤立體系時， 時空應該是平直的， 這樣的時空被稱為漸進平直時空。 這種定義實質上是想通過時空的漸進平直性來定義孤立體系， 這是現代廣義相對論研究所採用的方法。 在早期研究中， 人們通常將漸進平直時空定義為度規滿足下列條件
gμν ~ ημν + O(1/r)
∂igμν ~ O(1/r)
的時空 (視情形不同， 有時還會附加對 gμν 更高階導數的限制)。 我們將會看到， 這一定義所要求的漸進行為並非隨意選取， 而是出於確定引力場總能量動量的需要。 這一定義 - 我們稱之為樸素定義 - 雖然在不少具體場合是適用的， 但對於普遍研究來說卻有很大的局限性。 這首先是因為它明顯依賴於坐標的選擇， 比方說定義中用到的空間距離 r 就是一個依賴於坐標選擇的概念。 在特殊的坐標下， r→∞ 甚至有可能只是一個有限遠的點。 不僅如此， 用度規場在 r→∞ 的行為來定義漸進平直時空還有一個技術上的不利之處， 那就是處理 r→∞ 的極限並不是一件容易的事情， 尤其是在不得不涉及多個極限或微分的相互次序的時候。
為了克服上述困難， 自二十世紀六十年代起， Penrose 等人提出了一個非常聰明的想法， 那就是乾脆把 r→∞ (即 “無窮遠”) 這個 “麻煩製造者” 當作邊界加入到時空流形中。 這樣一來， 度規的漸進行為就可以用其在流形邊界及其鄰域內的微分性質來取代， 從而避免採用象 r→∞ 這樣依賴於坐標的極限。 當然， 這個想法說起來容易， 具體做起來卻有不少微妙的細節需要處理。 Penrose 最初的工作只考慮了對類光無窮遠的處理， 在他之後， 經過 Geroch、 G. T. Horowitz、 R. O. Hansen、 A. Ashtekar 等多位物理學家的努力， 直到二十世紀七、 八十年代， 人們才得到了漸進平直時空的相對完整的現代定義。
雖然我們所要介紹的正質量定理的表述和證明只需用到漸進平直時空的樸素定義， 但我們仍將對現代定義的思路做一個簡單介紹。 這不僅是因為這一思路本身值得了解， 而且也是因為通過對現代定義的介紹， 我們可以對樸素定義的適用性有一個了解。 如上所述， 現代定義的關鍵是將 “無窮遠” 納入時空邊界， 要做到這一點， 第一步顯然是要對時空進行 “壓縮”， 以便把看不見摸不著的 “無窮遠” 拉到看得見摸得著的 “有限遠”。 而要想對時空進行 “壓縮”， 就必須改變時空的尺度。 在數學上， 這是通過所謂的共形變換 (conformal transformation) gμν = Ωgμν 來實現的。 這種變換之所以被稱為共形變換， 是因為 (請讀者自行證明) 它只改變尺度而不改變角度， 從而也不改變幾何形狀， 其中包括光錐的形狀。 在相對論中， 因果結構是由光錐決定的， 因此共形變換不改變時空的因果結構， 這是它在廣義相對論研究中廣受青睞的根本原因。 經過適當的共形變換 (請讀者想一想， 為了將 “無窮遠” 拉到 “有限遠”， 共形因子 Ω 需要滿足的最基本的條件是什麼？)， 再輔以一定的坐標變換， 時空流形可以最終用一組在有限區間內取值的坐標來描述， 這樣就完成了將 “無窮遠” 拉到 “有限遠” 的任務。
完成了這一步之後， 我們就可以為時空流形添加邊界， 那些邊界點表示的就是原先可望不可及的 “無窮遠”， 在這裡被稱為共形無窮遠， 它們可分為： 過去 (未來) 類時無窮 i (i)， 過去 (未來) 類光無窮 j (j)， 以及類空無窮 i。 在時空流形上添加邊界所得到的有時被稱為 “非物理時空” (unphysical spacetime)， 得到這一 “非物理時空” 的過程則被稱為共形緊緻化 (conformal compactification)。 熟悉複變函數論的讀者可能注意到了， 對時空流形的這種處理方式類似於複變函數論中引進 Riemann 球面及無窮遠點的做法。
為了更好地理解共形緊緻化， 我們來看一個簡單的例子。 我們知道， Minkowski 度規 (在有關正質量定理的各節中， 度規的空間部分將取為正定， 以便更方便地表示空間距離及類空超曲面的性質)
ds = -dt + dr + rdΩ
所涉及的坐標 r 和 t 的取值範圍都是無界的。 但如果我們對這一度規接連實施下列三個變換： 1. 坐標變換 u=t-r, v=t+r； 2. 共形變換 gμν = 4/(1+u)(1+v)gμν； 3. 坐標變換 T=tanv+tanu, R=tanv-tanu， 就可將之轉變為 (請讀者自行驗證)：
ds = -dT + dR + sinRdΩ
其中 R 和 T 的取值範圍滿足： -π<T-R<π, -π<T+R<π, R≥0。 這時所有坐標的取值全部成為了有界， 這就完成了前面介紹的將 “無窮遠” 拉到 “有限遠” 的過程。 這一度規所對應的共形無窮遠 (即代表 “無窮遠” 的邊界) 則是： 過去 (未來) 類時無窮遠 i (i) 為 R=0, T=-π (R=0, T=π)， 均為一個點； 過去 (未來) 類光無窮遠 j (j) 為 T=R-π, 0<R<π (T=π-R, 0<R<π)， 均為三維表面 (拓撲結構為 S×R)； 類空無窮遠 i 為 T=0, R=π， 是一個點。
Minkowski 度規的這個例子雖然簡單， 但從中我們可以看到普遍定義所需處理的一個微妙的細節： 那就是類空無窮遠被映射為了一個點 i。 我們知道， 物理量 (尤其是帶分量的物理量， 比如矢量或張量) 沿不同方向趨於類空無窮遠所具有的極限往往是不同的 (請讀者舉出一個具體例子)， 要想讓這些不同的極限與單一的類空無窮遠點相對應， “非物理時空” 在這一點上的解析性質必須足夠弱。 此外， 在有物質存在的情形下， 由於物質不會憑空產生和消失， 因此我們不能要求時空在類時無窮遠 i 和 i 趨於 Minkowski 時空。 除這些細節外， 漸進平直時空的定義還需滿足以下三個物理上顯而易見的條件：
1、適當的完備性條件， 以確保所有的無窮遠都被包含在內。
2、物質只分布在有限的空間區域內。 這一條件原則上可以放寬為對 T 在邊界附近趨於零的方式的限制。
3、度規張量在類空無窮遠的某個鄰域內趨於 Minkowski 度規。 這一條件是漸進平直的含義所在， 它可以巧妙地體現為 Ω 和 gμν 在邊界上的約束條件 - 如前所述， 這正是現代定義的動機之一。
漸進平直時空的現代定義就是由上述所有條件的數學表述組成的。 但光有這樣的表述還不夠， 我們還必須證明這一定義是無歧義的。 這一點之所以成為問題， 是因為滿足定義要求的共形因子 Ω 是不唯一的。 由於 Ω 的選擇直接影響到時空邊界 (即 “無窮遠”) 的結構， 因此原則上 Ω 的不唯一有可能導致時空邊界 (即 “無窮遠”) 的歧義性。 幸運的是， Geroch 等人早已證明， 不同的 Ω (當然它們首先得滿足定義所要求的各種解析性質) 所對應的 “非物理時空” 之間必定可以找到在物理時空上為恆等映射的微分同胚。 存在這樣的微分同胚表明， Ω 的選擇不影響時空的拓撲及微分性質， 從而不會導致歧義。 這樣就確立了漸進平直時空的現代定義。
漸進平直時空 - 及以之為基礎的孤立體系 - 的現代定義雖然抽象， 並且看上去與早期研究所用的樸素定義很不相同， 但幸運的是， 上面所列條件的第三條表明， 我們總可以找到一組適當的坐標， 使度規張量在 “遠處” (即類空無窮遠的某個鄰域內) 以樸素定義所要求的方式趨於 Minkowski 度規。 這表明， 漸進平直時空的樸素定義雖不嚴格， 但在實際套用中的確可以行之有效。